Questão 4. (2,5 pontos) Considere a função
.
Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento.
Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento.
Passo 1
O enunciado pede para determinar onde a função f(x)=
cresce ou decresce. Esse é um exercício de estudo de monotonicidade de função real e vamos precisar calcular a derivada f’(x) e analisar seu sinal.
Passo 2
Para calcular f’(x) usamos a regra da cadeia. Se f(x)=
com h(x)=x³−x², então
Passo 3
Derivando h(x)=x³−x², temos h’(x)=3x²−2x=x(3x−2). Substituindo em f’(x):
Passo 4
Os pontos críticos surgem quando f’(x)=0 ou f’(x) não existe. O numerador zera em x=0 e x=2/3. O denominador se anula (e f’ fica indefinida) quando x³−x²=0, isto é, x=0 ou x=1. Então levantamos os valores críticos x=0, 2/3 e 1.
Passo 5
Para cada intervalo determinado por {−∞,0,2/3,1,+∞} escolhemos um ponto de teste e analisamos o sinal de f’(x), lembrando que o denominador
é sempre positivo (exceto nos zeros):
- Em x<0 (por exemplo x=−1): x(3x−2)>0· (negativo·negativo)=positivo → f’(x)>0.
- Em 0<x<2/3 (por exemplo x=0.5): x>0 e 3x−2<0 → produto negativo → f’(x)<0.
- Em 2/3<x<1 (por exemplo x=0.8): x>0 e 3x−2>0 → produto positivo → f’(x)>0.
- Em x>1 (por exemplo x=2): x>0 e 3x−2>0 → f’(x)>0.
Passo 6
Logo a função cresce quando f’(x)>0 e decresce quando f’(x)<0.
Resposta
f cresce em (−∞,0) e também em (2/3,1) e em (1,+∞); f decresce em (0,2/3).