Questão 4. (2,5 pontos) Considere a função f(x)=raiz[3]x^3-x^2.
Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento.

Passo 1

O enunciado pede para determinar onde a função f(x)= raiz[3]x^3-x^2 cresce ou decresce. Esse é um exercício de estudo de monotonicidade de função real e vamos precisar calcular a derivada f’(x) e analisar seu sinal.

Passo 2

Para calcular f’(x) usamos a regra da cadeia. Se f(x)= h(x)^1/3 com h(x)=x³−x², então
f'(x)=13,h(x)^-2/3cdot h'(x)

Passo 3

Derivando h(x)=x³−x², temos h’(x)=3x²−2x=x(3x−2). Substituindo em f’(x):
f'(x)=13,(x^3-x^2)^-2/3cdot x(3x-2)=x(3x-2)3,(x^3-x^2)^2/3

Passo 4

Os pontos críticos surgem quando f’(x)=0 ou f’(x) não existe. O numerador zera em x=0 e x=2/3. O denominador se anula (e f’ fica indefinida) quando x³−x²=0, isto é, x=0 ou x=1. Então levantamos os valores críticos x=0, 2/3 e 1.

Passo 5

Para cada intervalo determinado por {−∞,0,2/3,1,+∞} escolhemos um ponto de teste e analisamos o sinal de f’(x), lembrando que o denominador (x^3-x^2)^2/3 é sempre positivo (exceto nos zeros):
  • Em x<0 (por exemplo x=−1): x(3x−2)>0· (negativo·negativo)=positivo → f’(x)>0.
  • Em 0<x<2/3 (por exemplo x=0.5): x>0 e 3x−2<0 → produto negativo → f’(x)<0.
  • Em 2/3<x<1 (por exemplo x=0.8): x>0 e 3x−2>0 → produto positivo → f’(x)>0.
  • Em x>1 (por exemplo x=2): x>0 e 3x−2>0 → f’(x)>0.

Passo 6

Logo a função cresce quando f’(x)>0 e decresce quando f’(x)<0.

Resposta

f cresce em (−∞,0) e também em (2/3,1) e em (1,+∞); f decresce em (0,2/3).

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