Calcule
integral 4x^2-4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão é calcular a integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, especificamente usando frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) . Esse é um caso clássico de diferença de quadrados, que pode ser fatorado da seguinte maneira:
Fatorar o denominador nos ajuda a simplificar a fração e facilita a decomposição em frações parciais.

Passo 3

Agora, queremos expressar a fração original 4(x - 2)(x + 2) = Ax - 2 + Bx + 2 como a soma de frações mais simples. Isso é feito usando frações parciais. Supomos que:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar os valores de 4 = A(x + 2) + B(x - 2) e 4 = A(2 + 2) + B(2 - 2) Rightarrow 4 = 4A Rightarrow A = 1 , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum 4 = A(-2 + 2) + B(-2 - 2) Rightarrow 4 = -4B Rightarrow B = -1 :
Agora, escolhemos valores de que simplificam a equação. Primeiro, se :
Em seguida, se :
Então, e .

Passo 5

Agora que temos os valores de 4x^2 - 4 = 1x - 2 - 1x + 2 e integral 4x^2 - 4 dx = integral ( 1x - 2 - 1x + 2 ) dx , podemos reescrever a fração original:
Então, a integral fica:
Para integrar cada termo, lembramos que a integral de é , onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x - 2 dx = ln|x - 2|
integral 1x + 2 dx = ln|x + 2|
Então, a integral completa é:
ln|x - 2| - ln|x + 2| + C

Resposta

integral 4x^2-4 dx = ln|x - 2| - ln|x + 2| + C

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