Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão é calcular a integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, especificamente usando frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador
. Esse é um caso clássico de diferença de quadrados, que pode ser fatorado da seguinte maneira:
Fatorar o denominador nos ajuda a simplificar a fração e facilita a decomposição em frações parciais.
Passo 3
Agora, queremos expressar a fração original
como a soma de frações mais simples. Isso é feito usando frações parciais. Supomos que:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar os valores de
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, escolhemos valores de
que simplificam a equação. Primeiro, se
:
Em seguida, se
:
Então,
e
.
Passo 5
Agora que temos os valores de
e
, podemos reescrever a fração original:
Então, a integral fica:
Para integrar cada termo, lembramos que a integral de
é
, onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral completa é: