Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas e calcule o volume do sólido gerado pela rotaçāo de
em torno do eixo indicado:
; em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região
que é limitada pelas curvas
,
,
e
. Depois, vamos calcular o volume do sólido que é formado quando essa região gira em torno do eixo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites da nossa região
. A curva
é uma função decrescente para
. As retas
e
são linhas verticais que vão limitar nossa região na horizontal, e
é o eixo
, que vai limitar na parte de baixo.
Passo 3
Vamos desenhar um esboço rápido:
- Desenhe o eixo
e o eixo . - Trace a curva
entre e . - Desenhe as linhas verticais
e . - A linha
completa a base da região.
Isso forma uma área fechada entre essas curvas e linhas.
Passo 4
Agora, para calcular o volume do sólido de revolução gerado pela rotação dessa região em torno do eixo
, vamos usar o método dos discos. Esse método consiste em dividir o sólido em discos finos perpendiculares ao eixo de rotação e somar os volumes desses discos.
Passo 5
A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
Onde:
-
é a função que define a borda do sólido (no nosso caso, ). -
e são os limites de integração (aqui, e ).
Passo 6
Vamos aplicar a fórmula com nossos valores:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral:
Passo 8
Aplicando os limites de integração:
Passo 9
Simplificando os termos dentro dos parênteses:
Resposta
O volume do sólido gerado pela rotação da região
em torno do eixo
é: