Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas e calcule o volume do sólido gerado pela rotaçāo de R em torno do eixo indicado: y=1 / x^2, x=1, x=2, y=0; em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região que é limitada pelas curvas , , e . Depois, vamos calcular o volume do sólido que é formado quando essa região gira em torno do eixo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites da nossa região . A curva é uma função decrescente para . As retas e são linhas verticais que vão limitar nossa região na horizontal, e é o eixo , que vai limitar na parte de baixo.

Passo 3

Vamos desenhar um esboço rápido:
  • Desenhe o eixo e o eixo .
  • Trace a curva entre e .
  • Desenhe as linhas verticais e .
  • A linha completa a base da região.
Isso forma uma área fechada entre essas curvas e linhas.

Passo 4

Agora, para calcular o volume do sólido de revolução gerado pela rotação dessa região em torno do eixo , vamos usar o método dos discos. Esse método consiste em dividir o sólido em discos finos perpendiculares ao eixo de rotação e somar os volumes desses discos.

Passo 5

A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 , dx
Onde:
  • é a função que define a borda do sólido (no nosso caso, ).
  • e são os limites de integração (aqui, e ).

Passo 6

Vamos aplicar a fórmula com nossos valores:
V = pi integral1^2 ( 1x^2 )^2 , dx = pi integral1^2 1x^4 , dx

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral:
integral 1x^4 , dx = integral x^-4 , dx = x^-3-3 + C = -13x^3 + C

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
V = pi [ -13x^3 ]1^2 = pi ( -13(2)^3 + 13(1)^3 ) = pi ( -124 + 13 )

Passo 9

Simplificando os termos dentro dos parênteses:
-124 + 13 = -124 + 824 = 724

Resposta

O volume do sólido gerado pela rotação da região V = 7pi24 unidades cúbicas em torno do eixo é:
ú

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