Calcule a integral caso exista. Se não existir, justifique:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de
de 1 até o infinito. Isso envolve o estudo de integrais impróprias, que são aquelas onde o intervalo de integração é infinito ou onde a função tem algum ponto onde ela não está definida. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração e verificar se a integral converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral de uma forma que facilite o cálculo:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que para integrar uma função da forma
, onde
, a integral é:
No nosso caso,
, que é diferente de -1, então podemos aplicar essa regra.
Passo 4
Aplicando a regra de integração:
Simplificando o denominador:
Então, a antiderivada é:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração de 1 até o infinito:
Calculando cada parte:
- Quando
, tende a 0, então tende a 0. -
, então .
Substituindo:
Resposta
A integral converge e seu valor é
.