Calcule a integral caso exista. Se não existir, justifique:
integral1^infty 2x^6 / 5 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de de 1 até o infinito. Isso envolve o estudo de integrais impróprias, que são aquelas onde o intervalo de integração é infinito ou onde a função tem algum ponto onde ela não está definida. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração e verificar se a integral converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de uma forma que facilite o cálculo:
integral1^infty 2x^6/5 , dx = integral1^infty 2x^-6/5 , dx

Passo 3

Agora, vamos lembrar que para integrar uma função da forma integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C , onde , a integral é:
No nosso caso, , que é diferente de -1, então podemos aplicar essa regra.

Passo 4

Aplicando a regra de integração:
integral 2x^-6/5 , dx = 2 cdot x^-6/5 + 1-6/5 + 1 + C = 2 cdot x^-1/5-1/5 + C
Simplificando o denominador:
2 cdot x^-1/5-1/5 = -10x^-1/5
Então, a antiderivada é:
-10x^-1/5 + C

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração de 1 até o infinito:
limb to infty [ -10b^-1/5 ] - [ -10(1)^-1/5 ]
Calculando cada parte:
  1. Quando 0 - (-10) = 10 , tende a 0, então tende a 0.
  2. , então .
Substituindo:

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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