Determine o raio de convergências para a seguinte série:
sumn=1^infty n^3(x-2)^n3^n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série sumn=1^infty n^3(x-2)^n3^n. Isso é um problema de séries de potências centradas em x0=2 e vamos usar o teste da razão para séries de potências, que verifica se limntoinftyl|an+1/anr|<1.

Passo 2

Identificamos o termo geral an=n^3(x-2)^n3^n. Então
|an+1||an| = (n+1)^3,|x-2|^n+1/3^n+1n^3,|x-2|^n/3^n = (n+1)^3n^3cdot|x-2|3

Passo 3

Como limntoinfty(n+1)^3/n^3=1, o limite do quociente é
L=limntoinfty|an+1||an|=|x-2|3

Passo 4

Pelo teste da razão, a série converge se L<1, ou seja, se |x-2|/3<1. Daí vem a condição
|x-2|<3

Resposta

3

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