Calcule a integral abaixo:
integral 1cos ^2 2 x d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida de 1cos^2(2x),dx. O conteúdo aqui é integral de funções trigonométricas, mais especificamente de sec^2.

Passo 2

Observe que 1cos^2(2x) é exatamente sec^2(2x), pois por definição sec(u)=1/cos(u).
Para usar a fórmula integralsec^2(u),du=tan(u)+C, fazemos a substituição u=2x. Assim,
u=2x implica du=2,dx, ou seja, dx=tfracdu2.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
integralsec^2(2x),dx=integralsec^2(u)cdotdu2=12integralsec^2(u),du
Agora aplicamos a primitiva de sec^2(u):
12integralsec^2(u),du=12l(tan(u)r)+C
Por fim, voltamos para a variável x, substituindo u=2x.

Resposta

tfrac12tan(2x)+C

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