Calcule a integral:
integral-1^1 3 x^2 raizx^3+1 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de uma função envolvendo raiz quadrada e potência de termo cúbico, ou seja, integral-1^13x^2raizx^3+1,dx. Isso faz parte do conteúdo de substituição em integrais definidas, já que reconhecemos que a derivada de x^3+1 aparece multiplicando a raiz.

Passo 2

Para simplificar, fazemos a substituição u = x^3 + 1. Calculando o diferencial, temos du = 3x^2,dx. Essa escolha é natural porque o integrando original contém exatamente 3x^2,dx, de modo que: 3x^2,dx = du

Passo 3

Agora ajustamos os limites de integração conforme a troca de variável. Quando x = -1, u = (-1)^3 + 1 = 0. Quando x = 1, u = 1^3 + 1 = 2. Assim, a integral em x se transforma em uma integral em u: integral-1^13x^2raizx^3+1,dx = integral0^2raizu,du = integral0^2u^1/2,du

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potências para integrar u^1/2: integral u^1/2,du = u^3/23/2 = 23u^3/2 Em seguida, avaliamos de u=0 até u=2: 23u^3/2|0^2 = 23l(2^3/2 - 0r) = 23cdot2raiz2 = 4raiz23

Passo 5

Portanto, a integral definida original vale 4raiz23.

Resposta

4raiz23

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