Calcule a integral abaixo:
integral d x(x^2-1)^3 / 2, x>1

Passo 1

O problema pede para calcular a integral integraldx(x^2-1)^3/2 para x>1. Esse tipo de integral envolve raízes de expressões quadráticas, e vamos usar substituição trigonométrica para lidar com raizx^2-1.

Passo 2

Como x>1, fazemos a substituição x=sectheta com thetain(0,pi/2). A escolha de sectheta é natural porque raizx^2-1=raizsec^2theta-1=tantheta.
Calculamos as transformações necessárias:
dx=secthetatantheta,dtheta, (x^2-1)^3/2=(tan^2theta)^3/2=tan^3theta

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos:
integraldx(x^2-1)^3/2 =integralsecthetatantheta,dthetatan^3theta =integralsecthetatan^2theta,dtheta =integralcosthetasin^2theta,dtheta
Agora, note que
ddtheta(csctheta)=-cscthetacottheta Longrightarrow costheta/sin^2theta=cotthetacsctheta=-ddtheta(csctheta)
Logo,
integralcosthetasin^2theta,dtheta=-csctheta+C

Passo 4

Para voltar a x, usamos
sintheta=tanthetasectheta=raizx^2-1x, csctheta=xraizx^2-1
Assim a antiderivada é
-csctheta + C=-xraizx^2-1+C

Resposta

(-\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}+C)

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