Calcule a integral abaixo:
integral 3 d yraiz1+9 y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 3,dyraiz1+9y^2. O conteúdo aqui é integração de funções que envolvem raiz quadrada de expressão quadrática, e a gente vai usar substituição e o fato de que a derivada da função arcsinh(u) é 1/raiz1+u^2.

Passo 2

Fazendo a substituição u = 3y, temos du = 3,dy. Assim o numerador 3,dy vira du e a raiz fica raiz1 + u^2. A integral se transforma em
integral duraiz1+u^2

Passo 3

Sabendo que
ddul(arcsinh(u)r)=1raiz1+u^2,
vemos que
integral duraiz1+u^2=arcsinh(u)+C

Passo 4

Voltando à variável y, basta substituir u=3y. Portanto a antiderivada é
arcsinh(3y)+C,
que também pode ser escrita como lnl(3y+raiz1+9y^2r)+C.

Resposta

arcsinh(3y)+C

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