Calcule a integral abaixo.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. Esse é um problema de integração de potências de seno e cosseno, e vamos usar identidades de redução de potência para transformar tudo em somas de cossenos de múltiplos de
.
Passo 2
Observando que
, a integral vira
Passo 3
Para
, usamos
e elevamos ao quadrado:
Passo 4
Agora integramos termo a termo:
Passo 5
Para
, fazemos
e expandimos usando
e
. O resultado é
$$\sin^6 x = \tfrac{5}{16} - \tfrac{15}{32}\cos2x + \tfrac{3}{16}\cos4x - \tfrac{1}{32}\cos6x.
$$
Passo 6
Integrando:
Passo 7
Voltando à diferença das integrais e juntando as constantes em
:
Passo 8
Simplificando coeficientes dos termos semelhantes, obtemos a forma final.