Calcule a integral abaixo.
integral sen^4 x cos ^2 x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral sin^4 x,cos^2 x,dx. Esse é um problema de integração de potências de seno e cosseno, e vamos usar identidades de redução de potência para transformar tudo em somas de cossenos de múltiplos de x.

Passo 2

Observando que cos^2 x = 1 - sin^2 x, a integral vira
integral sin^4 x,cos^2 x,dx = integral l(sin^4 x - sin^6 xr),dx = integral sin^4 x,dx - integral sin^6 x,dx

Passo 3

Para integral sin^4 x,dx, usamos sin^2 x = tfrac1 - cos2x2 e elevamos ao quadrado:
sin^4 x = l(tfrac1 - cos2x2r)^2 = tfrac14l(1 - 2cos2x + cos^2 2xr) = tfrac38 - tfrac12cos2x + tfrac18cos4x

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral sin^4 x,dx = integrall(tfrac38 - tfrac12cos2x + tfrac18cos4xr)dx = tfrac38x - tfrac14sin2x + tfrac132sin4x + C1

Passo 5

Para integral sin^6 x,dx, fazemos sin^6 x = (sin^2 x)^3 = l(tfrac1 - cos2x2r)^3 e expandimos usando cos^2 2x=tfrac1+cos4x2 e cos^3theta=tfrac3costheta+cos3theta4. O resultado é
$$\sin^6 x = \tfrac{5}{16} - \tfrac{15}{32}\cos2x + \tfrac{3}{16}\cos4x - \tfrac{1}{32}\cos6x.
$$

Passo 6

Integrando:
integral sin^6 x,dx = integrall(tfrac516 - tfrac1532cos2x + tfrac316cos4x - tfrac132cos6xr)dx = tfrac516x - tfrac1564sin2x + tfrac364sin4x - tfrac1192sin6x + C2

Passo 7

Voltando à diferença das integrais e juntando as constantes em C:
integral sin^4 xcos^2 x,dx = l(tfrac38x - tfrac14sin2x + tfrac132sin4xr) - l(tfrac516x - tfrac1564sin2x + tfrac364sin4x - tfrac1192sin6xr) + C

Passo 8

Simplificando coeficientes dos termos semelhantes, obtemos a forma final.

Resposta

integral sin^4 x,cos^2 x,dx = x16 - sin2x64 - sin4x64 + sin6x192 + C

Exercícios relacionados