Resolva a equação do calor ou da onda dada. Em todos os casos, assuma -infty e t>0.
ut=1100 ux x & ll100 u(x, 0)= & se -2á

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a equação do calor no domínio inteiro (−∞<x<∞) e t>0 com coeficiente de difusão k=1/100 e dado inicial em partes: u(x,0)=100 em −2<x<0, u(x,0)=50 em 0<x<1 e zero fora. Vamos usar o método de convolução com o núcleo fundamental.

Passo 2

Para equação do calor u_t=k u_{xx} em ℝ, a solução com dado inicial f(x) é dada por convolução com o núcleo fundamental G(x,t), isto é, u(x,t)=∫_{−∞}^{∞}G(x−y,t)f(y)dy. Aqui k=1/100.

Passo 3

O núcleo fundamental G(x,t) vale
G(x,t)=1raiz4pi k texpl(-x^24k tr)
Substituindo k=1/100, obtemos
G(x,t)=1raiz4pi(1/100)texpl(-(x)^24(1/100)tr) =raiz1004pi texpl(-25x^2tr)

Passo 4

Agora basta aplicar a convolução com o dado f(y)=100 em [−2,0], 50 em [0,1] e zero fora. Logo
u(x,t)= 100integral-2^0G(x-y,t),dy +50integral0^1G(x-y,t),dy

Passo 5

Colocando G explicitamente, a solução final fica
u(x,t)=100integral-2^01raiz4pi(1/100)texpl(-(x-y)^24(1/100)tr)dy +50integral0^11raiz4pi(1/100)texpl(-(x-y)^24(1/100)tr)dy

Resposta

u(x,t)=100integral-2^01raiz4pi(1/100)texpl(-(x-y)^24(1/100)tr),dy +50integral0^11raiz4pi(1/100)texpl(-(x-y)^24(1/100)tr),dy

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