Resolva a equação do calor ou da onda dada. Em todos os casos, assuma
e
.
Passo 1
O enunciado pede pra resolver a equação do calor no domínio inteiro (−∞<x<∞) e t>0 com coeficiente de difusão k=1/100 e dado inicial em partes: u(x,0)=100 em −2<x<0, u(x,0)=50 em 0<x<1 e zero fora. Vamos usar o método de convolução com o núcleo fundamental.
Passo 2
Para equação do calor u_t=k u_{xx} em ℝ, a solução com dado inicial f(x) é dada por convolução com o núcleo fundamental G(x,t), isto é, u(x,t)=∫_{−∞}^{∞}G(x−y,t)f(y)dy. Aqui k=1/100.
Passo 3
O núcleo fundamental G(x,t) vale
Substituindo k=1/100, obtemos
Passo 4
Agora basta aplicar a convolução com o dado f(y)=100 em [−2,0], 50 em [0,1] e zero fora. Logo
Passo 5
Colocando G explicitamente, a solução final fica