Resolva a equação de Korteweg-de Vries linearizada:
ut=c^2 ux x x & se -infty0 u(x, 0)=f(x) & se -infty

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Korteweg–de Vries linearizada
ut = c^2 ,uxxx, -infty0,
com condição inicial u(x,0)=f(x). Vamos usar transformada de Fourier em x para transformar a PDE numa ODE em t.

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier espacial
hat u(k,t)=integral-infty^inftyu(x,t)e^-ikx,dx,
então
uxxx;xrightarrow F;(ik)^3hat u(k,t)=i,k^3hat u(k,t)
Aplicando ao PDE, obtemos a ODE
partialthat u(k,t)=c^2,i,k^3hat u(k,t)

Passo 3

Essa ODE é de coeficiente constante. A solução geral é
hat u(k,t)=hat u(k,0),e^i,c^2k^3t= hat f(k)e^i,c^2k^3t,
onde hat f(k) é a transformada de Fourier de f(x).

Passo 4

Agora invertemos a transformada para voltar a u(x,t):
u(x,t)=12piintegral-infty^inftyhat f(k),e^i(kx+c^2k^3t),dk
Isso pode ser escrito como convolução com o núcleo fundamental G(x,t).

Passo 5

O núcleo fundamental é dado pela integral de Fourier
G(x,t)=12piintegral-infty^inftye^i(kx+c^2k^3t),dk =1(3c^2t)^1/3Ai!l(x(3c^2t)^1/3r),
onde Ai é a função de Airy. Assim
u(x,t)=(f*G)(x,t)=integral-infty^inftyf(y),G(x-y,t),dy

Resposta

A solução da PDE é
u(x,t)=12piintegral-infty^inftyhat f(k)e^i,(kx+c^2k^3t),dk =integral-infty^inftyf(y),1(3c^2t)^1/3Ai!l(x-y(3c^2t)^1/3r)dy

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