Resolva a equação de Korteweg-de Vries linearizada:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Korteweg–de Vries linearizada
com condição inicial
. Vamos usar transformada de Fourier em
para transformar a PDE numa ODE em
.
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier espacial
então
Aplicando ao PDE, obtemos a ODE
Passo 3
Essa ODE é de coeficiente constante. A solução geral é
onde
hat f(k) é a transformada de Fourier de
f(x) .
Passo 4
Agora invertemos a transformada para voltar a
u(x,t) :
Isso pode ser escrito como convolução com o núcleo fundamental
G(x,t) .
Passo 5
O núcleo fundamental é dado pela integral de Fourier
onde
Ai é a função de Airy. Assim
Resposta
A solução da PDE é