Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma -infty e t>0.
lut=t ux x x x u(x, 0)=f(x),

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial ut = t,uxxxx, com u(x,0)=f(x), no domínio -infty0. O conteúdo principal é usar a transformada de Fourier em x e depois inverter para obter u(x,t).

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier e algumas propriedades de derivadas. Seja
hat u(k,t)=integral-infty^inftyu(x,t)e^-ikx,dx, u(x,t)=12piintegral-infty^inftyhat u(k,t)e^ikx,dk Lembrando que Fpartialx^n u=(ik)^nhat u(k,t).

Passo 3

Aplicamos a transformada de Fourier na PDE. Como ut não depende de x,
partialthat u(k,t)=t,(ik)^4hat u(k,t)=t,k^4hat u(k,t)

Passo 4

Isso gera uma equação diferencial ordinária em t para hat u. Separamos variáveis:
1hat u,dhat u=k^4,t,dtimplies lnhat u=k^4t^22+C(k) Assim
hat u(k,t)=A(k)e^k^4t^2/2, onde A(k)=hat u(k,0)=hat f(k)=integral-infty^infty f(x)e^-ikx,dx.

Passo 5

Por fim, usamos a transformada inversa para voltar a x:
u(x,t)=12piintegral-infty^inftyhat f(k)e^k^4t^2/2e^ikx,dk

Resposta

A solução do IVP é
$$
u(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}{\infty}\Bigl(\int_{-\infty}{\infty}f(\xi)e{-ik\xi},d\xi\Bigr)e{,k4t2/2}e^{ikx},dk.$$

Exercícios relacionados