Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
, com
, no domínio
. O conteúdo principal é usar a transformada de Fourier em
e depois inverter para obter
.
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier e algumas propriedades de derivadas. Seja
Passo 3
Aplicamos a transformada de Fourier na PDE. Como
não depende de
,
Passo 4
Isso gera uma equação diferencial ordinária em
para
. Separamos variáveis:
Passo 5
Por fim, usamos a transformada inversa para voltar a
:
Resposta
A solução do IVP é
$$
u(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}{\infty}\Bigl(\int_{-\infty}{\infty}f(\xi)e{-ik\xi},d\xi\Bigr)e{,k4t2/2}e^{ikx},dk.$$