Calcule a integral abaixo:
integral (1-x^2)^3 / 2x^6 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral I=integral (1-x^2)^3/2x^6,dx. O conteúdo principal aqui é usar uma substituição trigonométrica para eliminar a raiz raiz1-x^2 e em seguida integrar uma potência de tan.

Passo 2

Escolhemos a substituição x=costheta. Nesse caso temos:
1 - x^2 = 1 - cos^2theta = sin^2theta,
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(1-x^2)^3/2 = (sin^2theta)^3/2 = sin^3theta,
e também
dx = -sintheta,dtheta

Passo 3

Substituindo tudo na integral, e lembrando que x^-6=cos^-6theta, obtemos:
I = integral sin^3thetacos^6theta,(-sintheta,dtheta) = -integral sin^4thetacos^6theta,dtheta = -integral tan^4theta,sec^2theta,dtheta

Passo 4

Para integrar -integral tan^4theta,sec^2theta,dtheta), usamos a substuuição u=tantheta, o que dá du=sec^2theta,dtheta. Assim:
I = -integral u^4,du = -u^55 + C = -tan^5theta5 + C

Passo 5

Agora voltamos a x. Como tantheta = sinthetacostheta e sintheta=raiz1-x^2,,costheta = x, temos:
tan^5theta = l(raiz1-x^2xr)^5 = (1-x^2)^5/2x^5
Portanto
I = -15(1-x^2)^5/2x^5 + C Acrescentamos a constante de integração +C e esse é o resultado final.

Resposta

-dfrac(1-x^2)^5/25,x^5 + C

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