Determine a linearização das seguintes funções, ao redor dos pontos dados:
.
Passo 1
O enunciado pede a linearização de f(x,y,z)=
em torno de (1,0,0). O conteúdo é a aproximação de Taylor de primeira ordem para funções de várias variáveis, e vamos precisar calcular o gradiente de f e avaliá-lo no ponto dado.
Passo 2
A linearização de f em torno de um ponto a=(a,b,c) é dada pela fórmula
Passo 3
Para achar o gradiente, escrevemos f(x,y,z)=u^{1/4} com u=x2+y2+z^2. Pelo regra da cadeia:
Passo 4
Em (1,0,0) temos u=1^2+0+0=1, logo f(1,0,0)=1^{1/4}=1. E
Passo 5
Substituindo na fórmula de Taylor, com h=(x-1,y,z):
Resposta
L(x,y,z)=1+\tfrac12(x-1)