Determine a linearização das seguintes funções, ao redor dos pontos dados: f(x, y, z)=raiz[4]x^2+y^2+z^2,(1,0,0).

Passo 1

O enunciado pede a linearização de f(x,y,z)= raiz[4]x^2+y^2+z^2 em torno de (1,0,0). O conteúdo é a aproximação de Taylor de primeira ordem para funções de várias variáveis, e vamos precisar calcular o gradiente de f e avaliá-lo no ponto dado.

Passo 2

A linearização de f em torno de um ponto a=(a,b,c) é dada pela fórmula
L(x,y,z)=f(a,b,c)+nabla f(a,b,c)cdotl[(x-a),(y-b),(z-c)r]

Passo 3

Para achar o gradiente, escrevemos f(x,y,z)=u^{1/4} com u=x2+y2+z^2. Pelo regra da cadeia:
partial fpartial x=14u^-3/4cdot2x=x2(x^2+y^2+z^2)^3/4,
partial fpartial y=y2(x^2+y^2+z^2)^3/4,partial fpartial z=z2(x^2+y^2+z^2)^3/4

Passo 4

Em (1,0,0) temos u=1^2+0+0=1, logo f(1,0,0)=1^{1/4}=1. E
partial fpartial x(1,0,0)=12,partial fpartial y(1,0,0)=0,partial fpartial z(1,0,0)=0

Passo 5

Substituindo na fórmula de Taylor, com h=(x-1,y,z):
L(x,y,z)=1+l(tfrac12,0,0r)cdot(x-1,y,z)=1+tfrac12(x-1)

Resposta

L(x,y,z)=1+\tfrac12(x-1)

Exercícios relacionados