Calcule a integral abaixo.
integral(1-x+e^3 x cos (2 x)) d x.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral indefinida integrall(1 - x + e^3xcos(2x)r),dx. O conteúdo envolvido é integração de funções polinomiais, aplicação da linearidade de integrais e integração por partes para a parte exponencial-trigonométrica.

Passo 2

Usando a linearidade da integral, separamos em duas partes mais simples: integral1,dx e integral(-x),dx. Sabendo que integral x^n,dx = x^n+1n+1+C, temos
integral1,dx = x,
integral(-x),dx = -x^22

Passo 3

Chamando I = integral e^3xcos(2x),dx, aplicamos integração por partes duas vezes. Primeiro:
u = e^3x, dv = cos(2x),dx implies du = 3e^3x,dx, v = sin(2x)2
Então
I = e^3xsin(2x)2 - 32integral e^3xsin(2x),dx
Chamando J = integral e^3xsin(2x),dx e repetindo partes:
u = e^3x, dv = sin(2x),dx implies du = 3e^3x,dx, v = -cos(2x)2,
obtemos
J = -e^3xcos(2x)2 + 32I

Passo 4

Substituindo J em I e resolvendo para I (agrupando termos semelhantes), chega-se à fórmula padrão:
I = integral e^3xcos(2x),dx = e^3xl(3cos(2x)+2sin(2x)r)13 + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo. A integral original fica
integrall(1 - x + e^3xcos(2x)r),dx = x - x^22 + e^3xl(3cos(2x)+2sin(2x)r)13 + C

Resposta

x - x^22 + e^3xl(3cos(2x)+2sin(2x)r)13 + C

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