Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a PDE
com
em
. Vamos usar a transformada de Fourier em
, que converte derivadas espaciais em fatores de
, e depois inverter para voltar a
.
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier de
em relação a
:
Aplicando-a em
e lembrando que
, obtemos a ODE
Passo 3
Para resolver essa ODE, separamos variáveis:
Integrando de
a
:
Logo,
Como
, temos
.
Passo 4
Agora usamos a transformada inversa:
Pela propriedade da delta, isso reduz a avaliar o integrando em
, dando
.
Passo 5
Como consequência física, qualquer perfil constante em
tem
, então
e a solução permanece o valor inicial.