Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma -infty e t>0.
lut=e^-t ux x u(x, 0)=100,

Passo 1

O enunciado pede para resolver a PDE ut = e^-tuxx com u(x,0)=100 em -infty. Vamos usar a transformada de Fourier em x, que converte derivadas espaciais em fatores de -omega^2), e depois inverter para voltar a u(x,t).

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier de u(x,t) em relação a x:
hat u(omega,t)=integral-infty^inftyu(x,t)e^-iomega x,dx
Aplicando-a em ut = e^-tuxx e lembrando que Fuxx=-omega^2hat u, obtemos a ODE
partialhat upartial t = -omega^2 e^-t,hat u

Passo 3

Para resolver essa ODE, separamos variáveis:
1hat u,dhat u = -omega^2 e^-t,dt
Integrando de 0 a t:
lnhat u(omega,t)hat u(omega,0) = -omega^2integral0^t e^-sds = -omega^2l(1 - e^-tr)
Logo,
hat u(omega,t)=hat u(omega,0),e^-omega^2(1-e^-t)
Como u(x,0)=100, temos hat u(omega,0)=100integral e^-iomega xdx=100cdot2pi,de.

Passo 4

Agora usamos a transformada inversa:
u(x,t)=12piintegral-infty^inftyhat u(omega,t)e^iomega x,domega =12piintegral100,2pi,de
Pela propriedade da delta, isso reduz a avaliar o integrando em omega=0, dando u(x,t)=100.

Passo 5

Como consequência física, qualquer perfil constante em x tem uxx=0, então ut=0 e a solução permanece o valor inicial.

Resposta

u(x,t)=100.

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