Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma -infty e t>0.
lut=t^2 ux u(x, 0)=3 cos x

Passo 1

Temos o problema de valor inicial \
Temos a equação
$$
u_{t}=t^{2}u_{x}, ut=t^2ux,çã
u(x,0)=3\cos x.$$
O conteúdo é transporte com coeficiente que depende de \n e vamos usar a transformada de Fourier em \,

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier em \ e transformamos a PDE. Seja
hat u(k,t)=integral-infty^inftye^-ikxu(x,t),dx
Aplicando nos dois lados de \n partialpartial t,u(x,t)=t^2ux(x,t)
obtemos a equação para \
partialpartial t,hat u(k,t)=t^2(ik)hat u(k,t)

Passo 3

Resolvemos agora a equação ordinária em \ para cada \
É um ODE de separação de variáveis:
1hat udhat udt=ik,t^2
Integramos de 0 até \ para encontrar:
lnhat u(k,t)hat u(k,0)=ikt^33,
ou seja,
hat u(k,t)=hat u(k,0)expl(iktfract^33r)

Passo 4

Precisamos da transformada inicial \
Como \
$$
u(x,0)=3\cos x=\tfrac{3}{2}(e{ix}+e{-ix}), u(x,0)=3cos x=tfrac32(e^ix+e^-ix),ã
\mathcal{F}{e^{i x}}=2\pi\delta(k-1),\quad\mathcal{F}{e^{-i x}}=2\pi\delta(k+1).
Fe^i x=2pide
\hat u(k,0)=3\pi[\delta(k-1)+\delta(k+1)].
$$

Passo 5

Invertemos a transformada de Fourier para obter \u(x,t). Temos
u(x,t)=12piintegral-infty^inftye^ikxhat u(k,t),dk
Substituindo \
hat u(k,t)=3pi[de
odificamos a integral usando as deltas e obtemos
nu(x,t)=3cosl(x+tfract^33r)

Resposta

$u(x,t)=3\cos\bigl(x+\tfrac{t^{3}}{3}\bigr)$

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