Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma
e
.
Passo 1
Temos o problema de valor inicial \
Temos a equação
Temos a equação
$$
u_{t}=t^{2}u_{x},
u(x,0)=3\cos x.$$
O conteúdo é transporte com coeficiente que depende de \n e vamos usar a transformada de Fourier em \,
O conteúdo é transporte com coeficiente que depende de \n e vamos usar a transformada de Fourier em \,
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier em \ e transformamos a PDE. Seja
Aplicando nos dois lados de \n
obtemos a equação para \
Passo 3
Resolvemos agora a equação ordinária em \ para cada \
É um ODE de separação de variáveis:
É um ODE de separação de variáveis:
Integramos de 0 até \ para encontrar:
ou seja,
Passo 4
Precisamos da transformada inicial \
Como \
Como \
$$
u(x,0)=3\cos x=\tfrac{3}{2}(e{ix}+e{-ix}),
\mathcal{F}{e^{i x}}=2\pi\delta(k-1),\quad\mathcal{F}{e^{-i x}}=2\pi\delta(k+1).
\hat u(k,0)=3\pi[\delta(k-1)+\delta(k+1)].
$$
Passo 5
Invertemos a transformada de Fourier para obter \u(x,t). Temos
Substituindo \
odificamos a integral usando as deltas e obtemos
Resposta
$u(x,t)=3\cos\bigl(x+\tfrac{t^{3}}{3}\bigr)$