Determine o volume do sólido delimitado pelas esferas e , sendo .
Passo 1
Neste exercício vamos encontrar o volume do sólido delimitado pelas esferas e , com a restrição . O conteúdo envolve cálculo de volumes em coordenadas esféricas, então precisaremos usar a mudança de variáveis para coordenadas esféricas, o jacobiano e determinar os limites de integração.
Passo 2
Introduzimos as coordenadas esféricas:
com , e . O elemento de volume é dado por . A condição implica , logo . As esferas determinam os limites radiais .
Passo 3
Escrevemos o integral triplo do volume com os limites encontrados:
Passo 4
Calculamos as integrais separadamente. Primeiro a radial: