Determine o volume do sólido delimitado pelas esferas x^2+y^2+z^2=9 e x^2+y^2+z^2=16, sendo y >= 0.

Passo 1

Neste exercício vamos encontrar o volume do sólido delimitado pelas esferas x^2+y^2+z^2=9 e x^2+y^2+z^2=16, com a restrição y>=0. O conteúdo envolve cálculo de volumes em coordenadas esféricas, então precisaremos usar a mudança de variáveis para coordenadas esféricas, o jacobiano e determinar os limites de integração.

Passo 2

Introduzimos as coordenadas esféricas:
  • x = rho sinvarphi costheta
  • y = rho sinvarphi sintheta
  • z = rho cosvarphi
    com rho>=0, varphiin[0,pi] e thetain[0,2pi]. O elemento de volume é dado por dV=rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta. A condição y>=0 implica sintheta>=0, logo thetain[0,pi]. As esferas determinam os limites radiais rhoin[3,4].

Passo 3

Escrevemos o integral triplo do volume com os limites encontrados:
V = integraltheta=0^piintegralvarphi=0^piintegralrho=3^4rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta

Passo 4

Calculamos as integrais separadamente. Primeiro a radial:
integral3^4rho^2,drho = rho^33g|3^4 = 64-273 = 373
Depois em varphi:
integral0^pisinvarphi,dvarphi = 2
E em theta:
integral0^pidtheta = pi

Passo 5

Multiplicando os resultados obtemos o volume:
V = pi times 2 times 373 = 74pi3

Resposta

74pi3

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