(2/2018) Utilizando integral de superfície, mostre que a área lateral de um cilindro circular reto de raio R e altura H é 2 pi R H. (Sugestão: considere o cilindro x^2+y^2=R^2, com z variando entre 0 e H)

Passo 1

O exercício pede para mostrar que a área lateral de um cilindro circular reto de raio R e altura H é 2pi R H. Vamos usar integral de superfície parametrizando a superfície dada por x^2+y^2=R^2 com 0<= z<= H.

Passo 2

Para calcular a área de uma superfície parametrizada, usamos que se r(u,v) descreve S, então
Área(S)=integral duplaDllvert rutimes rvrrvert,du,dv Á
onde D é o domínio dos parâmetros.

Passo 3

Escolhemos a parametrização por coordenadas cilíndricas: para thetain[0,2pi] e zin[0,H], definimos
r(theta,z)=l(Rcostheta,;Rsintheta,;zr)
Isso descreve exatamente a superfície lateral do cilindro.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais e o módulo do produto vetorial:
rtheta=(-Rsintheta,;Rcostheta,;0), rz=(0,;0,;1)
O produto vetorial tem módulo
llvert rthetatimes rzrrvert =llvert(-Rsintheta,;Rcostheta,;0)times(0,0,1)rrvert =R

Passo 5

Agora montamos a integral de superfície para a área lateral, lembrando que o integrando é 1 vezes o elemento de área:
Área=integralz=0^Hintegraltheta=0^2piR,dtheta,dz Á

Passo 6

Basta calcular a integral iterada:
integral0^Hl(integral0^2piR,dthetar)dz =integral0^H2pi R,dz =2pi R H

Resposta

2pi R H

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