Calcule a integral abaixo:
integral0^1(x^3-13 x^5+x+2 e^2) d x

Passo 1

A questão pede para calcular a integral definida de 0 a 1 do integrando x^3 - tfrac13x^5 + x + 2e^2. O conteúdo envolvido é a integração de polinômios e de constante, e vamos usar a regra do polinômio ( integral x^n dx = tfracx^n+1n+1), a linearidade da integral e a integral de constante.

Passo 2

Pela propriedade linear da integral, que permite separar a soma no integrando, reescrevemos:
integral0^1l(x^3 - tfrac13 x^5 + x + 2e^2r),dx = integral0^1 x^3,dx - tfrac13integral0^1 x^5,dx + integral0^1 x,dx + integral0^1 2e^2,dx .

Passo 3

Calculamos as antiderivadas usando a regra do polinômio e da constante. Temos:
integral x^3 dx = x^44, integral x^5 dx = x^66, integral x dx = x^22, integral 2e^2 dx = 2e^2 x
Logo, uma antiderivada comum é:
F(x) = x^44 - x^618 + x^22 + 2e^2 x .

Passo 4

Avaliamos a antiderivada nos limites de 0 a 1, ou seja, calculamos F(1) - F(0). Substituindo, encontramos:
F(1) - F(0) = 14 - 118 + 12 + 2e^2 .

Passo 5

Agora somamos os termos numéricos: 14 + 12 = 34 e 34 - 118 = 2736 - 236 = 2536. Assim, o valor final da integral é:
2536 + 2e^2

Resposta

\frac{25}{36} + 2e^2

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