(b) Encontre fórmulas análogas para
e
.
© Conjecture uma fórmula para
. Encontre expressões para as primeiras cinco derivadas de
. Você percebe um padrão nestas expressões? Proponha uma fórmula para
e demonstre-a usando a indução matemática.
© Conjecture uma fórmula para
Passo 1
O enunciado pede, na parte (b), as fórmulas das terceiras e quartas derivadas de um produto de funções, usando a regra do produto de forma repetida. Na parte ©, pede a conjectura da fórmula geral de
(a regra de Leibniz) e, em seguida, encontrar as primeiras cinco derivadas de
, identificar o padrão e demonstrar, por indução, a fórmula de
. Vamos usar a regra do produto e a indução matemática.
Passo 2
Para obter
, aplicamos a regra do produto à expressão de
. Derivando cada termo e somando:
Aplicamos .
Aplicamos .
Aplicamos .
Somando tudo e agrupando termos semelhantes, obtemos:
Aplicamos
Aplicamos
Aplicamos
Somando tudo e agrupando termos semelhantes, obtemos:
Passo 3
Para
, derivamos
pelo mesmo processo de regra do produto em cada termo de
. Agrupando, obtemos:
Passo 4
Observando os coeficientes 1,4,6,4,1 nas derivadas de ordem 3 e 4, reconhecemos os coeficientes binomiais. Conjecturamos então a fórmula geral (regra de Leibniz):
Passo 5
Agora, para
, calculamos as primeiras cinco derivadas:
f(x)=x^2 e^x
f’(x)=(x2+2x)ex
f’’(x)=(x2+4x+2)ex
f’’’(x)=(x2+6x+6)ex
f{(4)}(x)=(x2+8x+12)e^x
Passo 6
Percebemos que o termo em
permanece, o coeficiente de
é
e o termo constante é
. Assim propomos:
Passo 7
Demonstração por indução:
Base :
, segue de
.
Suponha válido para . Então
Base
Suponha válido para
que coincide com o formato para
, completando a indução.