(b) Encontre fórmulas análogas para F^prime prime prime e F^(4).
© Conjecture uma fórmula para F^(n). Encontre expressões para as primeiras cinco derivadas de f(x)=x^2 e^x. Você percebe um padrão nestas expressões? Proponha uma fórmula para f^(n)(x) e demonstre-a usando a indução matemática.

Passo 1

O enunciado pede, na parte (b), as fórmulas das terceiras e quartas derivadas de um produto de funções, usando a regra do produto de forma repetida. Na parte ©, pede a conjectura da fórmula geral de F^(n) (a regra de Leibniz) e, em seguida, encontrar as primeiras cinco derivadas de f(x)=x^2 e^x, identificar o padrão e demonstrar, por indução, a fórmula de f^(n)(x). Vamos usar a regra do produto e a indução matemática.

Passo 2

Para obter F'''(x), aplicamos a regra do produto à expressão de F''(x)=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x). Derivando cada termo e somando:
Aplicamos tfracddx[f''(x)g(x)] = f'''(x)g(x) + f''(x)g'(x).
Aplicamos tfracddx[2f'(x)g'(x)] = 2[f''(x)g'(x) + f'(x)g''(x)].
Aplicamos tfracddx[f(x)g''(x)] = f'(x)g''(x) + f(x)g'''(x).
Somando tudo e agrupando termos semelhantes, obtemos:
F'''(x) = f'''(x)g(x) + 3f''(x)g'(x) + 3f'(x)g''(x) + f(x)g'''(x)

Passo 3

Para F^(4)(x), derivamos F'''(x) pelo mesmo processo de regra do produto em cada termo de f'''(x)g(x)+3f''(x)g'(x)+3f'(x)g''(x)+f(x)g'''(x). Agrupando, obtemos:
F^(4)(x) = f^(4)(x)g(x) + 4f'''(x)g'(x) + 6f''(x)g''(x) + 4f'(x)g'''(x) + f(x)g^(4)(x)

Passo 4

Observando os coeficientes 1,4,6,4,1 nas derivadas de ordem 3 e 4, reconhecemos os coeficientes binomiais. Conjecturamos então a fórmula geral (regra de Leibniz):
F^(n)(x) = sumk=0^n binomnk ,f^(k)(x),g^(n-k)(x)

Passo 5

Agora, para f(x)=x^2 e^x, calculamos as primeiras cinco derivadas:
f(x)=x^2 e^x
f’(x)=(x2+2x)ex
f’’(x)=(x2+4x+2)ex
f’’’(x)=(x2+6x+6)ex
f{(4)}(x)=(x2+8x+12)e^x

Passo 6

Percebemos que o termo em x^2 permanece, o coeficiente de x é 2n e o termo constante é n(n-1). Assim propomos:
f^(n)(x) = (x^2 + 2n x + n(n-1)),e^x

Passo 7

Demonstração por indução:
Base n=0: f^(0)(x)=x^2 e^x, segue de (x^2+0+0)e^x.
Suponha válido para n. Então
f^(n+1)(x) = ddxl((x^2+2n x + n(n-1))e^xr) = [(2x+2n)+(x^2+2n x + n(n-1))]e^x = (x^2 + 2(n+1)x + n(n+1))e^x,
que coincide com o formato para n+1, completando a indução.

Resposta

F'''(x) = f'''(x)g(x) + 3f''(x)g'(x) + 3f'(x)g''(x) + f(x)g'''(x),
F^(4)(x) = f^(4)(x)g(x) + 4f'''(x)g'(x) + 6f''(x)g''(x) + 4f'(x)g'''(x) + f(x)g^(4)(x),
F^(n)(x) = sumk=0^n binomnk ,f^(k)(x),g^(n-k)(x),
f^(n)(x) = (x^2 + 2n x + n(n-1)),e^x

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