Calcule a integral abaixo, usando coordenadas cilíndricas,
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla usando coordenadas cilíndricas! O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com integrais em coordenadas cartesianas, mas vamos transformar para coordenadas cilíndricas para facilitar. Precisamos lembrar como converter as variáveis e os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas cilíndricas temos:
E o elemento de volume $ dV $ se transforma em:
Além disso, precisamos expressar a função que estamos integrando, $ x z $, em termos de $ r $ e $ \theta $:
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites de integração. Olhando para os limites de $ x $ e $ y $:
Esses limites representam um círculo de raio 2 no plano $ xy $. Em coordenadas cilíndricas, isso corresponde a:
Passo 4
Para o limite de $ z $, temos:
Em coordenadas cilíndricas, $ \sqrt{x^2 + y^2} = r $, então:
Passo 5
Agora podemos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas:
Aqui, $ r , dr , d\theta , dz $ é o elemento de volume e multiplicamos por $ x z = r \cos\theta \cdot z $.
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a $ z $:
Então, a integral se torna:
Passo 8
Vamos distribuir $ r^2 \cos\theta $:
Podemos separar a integral em duas partes:
Passo 9
Primeiro, calculamos a integral interna em $ r $:
Então:
Passo 10
Agora, substituímos de volta na integral:
Sabemos que:
Então, a integral total é:
Resposta
O valor da integral é $ 0 $.