Calcule a integral abaixo, usando coordenadas cilíndricas,
integral-2^2 integral-raiz4-y^2^raiz4-y^2 integralraizx^2+y^2^2 x z d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla usando coordenadas cilíndricas! O enunciado pede para calcular:
integral-2^2 integral-raiz4-y^2^raiz4-y^2 integralraizx^2+y^2^2 x z , dz , dx , dy
Aqui, estamos lidando com integrais em coordenadas cartesianas, mas vamos transformar para coordenadas cilíndricas para facilitar. Precisamos lembrar como converter as variáveis e os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas cilíndricas temos:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
E o elemento de volume $ dV $ se transforma em:
dV
Além disso, precisamos expressar a função que estamos integrando, $ x z $, em termos de $ r $ e $ \theta $:
dV = r , dr , dtheta , dz

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites de integração. Olhando para os limites de $ x $ e $ y $:
x
Esses limites representam um círculo de raio 2 no plano $ xy $. Em coordenadas cilíndricas, isso corresponde a:
y

Passo 4

Para o limite de $ z $, temos:
z
Em coordenadas cilíndricas, $ \sqrt{x^2 + y^2} = r $, então:
raizx^2 + y^2 <= z <= 2

Passo 5

Agora podemos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas:
integral0^2pi integral0^2 integralr^2 (r costheta) z cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, $ r , dr , d\theta , dz $ é o elemento de volume e multiplicamos por $ x z = r \cos\theta \cdot z $.

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(r costheta) z cdot r = r^2 costheta cdot z
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^2 integralr^2 r^2 costheta cdot z , dz , dr , dtheta

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a $ z $:
z
Então, a integral se torna:
integralr^2 z , dz = [ z^22 ]r^2 = 42 - r^22 = 2 - r^22

Passo 8

Vamos distribuir $ r^2 \cos\theta $:
r^2 costheta
Podemos separar a integral em duas partes:
integral0^2pi integral0^2 ( 2 r^2 costheta - r^42 costheta ) dr , dtheta

Passo 9

Primeiro, calculamos a integral interna em $ r $:
r
integral0^2 2 r^2 , dr = 2 [ r^33 ]0^2 = 2 cdot 83 = 163
Então:
integral0^2 r^42 , dr = 12 [ r^55 ]0^2 = 12 cdot 325 = 165

Passo 10

Agora, substituímos de volta na integral:
integral0^2pi costheta cdot 3215 , dtheta = 3215 integral0^2pi costheta , dtheta
Sabemos que:
integral0^2pi costheta , dtheta = 0
Então, a integral total é:
3215 cdot 0 = 0

Resposta

O valor da integral é $ 0 $.

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