Usando as propriedade e teoremas estudados, calcule se existir o valor dos seguintes limites:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando $ x $ tende a mais infinito da expressão:
O conteúdo envolvido aqui é o estudo de limites envolvendo funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de limite, vamos precisar identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador e aplicar algumas propriedades dos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é $ x^{5} $ e no denominador também é $ x^{5} $.
Isso porque, em uma função polinomial, o termo com o maior expoente domina o comportamento da função quando $ x $ tende ao infinito.
Passo 3
Agora, para simplificar o cálculo, vamos dividir todos os termos do numerador e do denominador por $ x^{5} $, que é o maior grau presente:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Agora, analisamos o comportamento de cada termo quando $ x $ tende a mais infinito:
- $ \frac{9}{x^{4}} $ tende a 0, pois o denominador cresce muito mais rápido que o numerador.
- $ \frac{50}{x^{2}} $ também tende a 0 pelos mesmos motivos.
Então, a expressão fica:
Resposta
O limite é $ \frac{1}{4} $.