Resolva a integral abaixo usando coordenadas esféricas.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo integral usando coordenadas esféricas. A integral dada é:
Vamos resolver isso usando coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas para esféricas e calcular o jacobiano dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como fazer a mudança para coordenadas esféricas. As relações são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites de integração. Observando os limites de x e y, vemos que -2 <= x <= 2 e -raiz4 - x^2 <= y <= raiz4 - x^2, o que descreve um círculo de raio 2 no plano xy.
Para z, os limites são de raizx^2 + y^2 até raiz8 - x^2 - y^2. Isso indica que estamos entre a superfície de um cone z = raizx^2 + y^2 e a superfície de uma esfera x^2 + y^2 + z^2 = 8.
Passo 4
Vamos determinar os limites em coordenadas esféricas:
O raio rho vai do ponto de origem até a superfície da esfera, então rho varia de 0 a raiz8 = 2raiz2.
O ângulo phi está limitado pelo cone z = raizx^2 + y^2. Em coordenadas esféricas, isso corresponde a phi = pi4 (45 graus).
O ângulo theta completa uma volta completa ao redor do eixo z, então varia de 0 a 2pi.