Resolva a integral abaixo usando coordenadas esféricas.
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integralraizx^2+y^2^raiz8-x^2-y^2(x^2+y^2+z^2) d z d y d x

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo integral usando coordenadas esféricas. A integral dada é:
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integralraizx^2+y^2^raiz8-x^2-y^2(x^2+y^2+z^2) dz , dy , dx
Vamos resolver isso usando coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas (x, y, z) para esféricas (rho, phi, theta) e calcular o jacobiano dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como fazer a mudança para coordenadas esféricas. As relações são:
x = rho sin phi cos theta y = rho sin phi sin theta z = rho cos phi
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites de integração. Observando os limites de x e y, vemos que -2 <= x <= 2 e -raiz4 - x^2 <= y <= raiz4 - x^2, o que descreve um círculo de raio 2 no plano xy.
Para z, os limites são de raizx^2 + y^2 até raiz8 - x^2 - y^2. Isso indica que estamos entre a superfície de um cone z = raizx^2 + y^2 e a superfície de uma esfera x^2 + y^2 + z^2 = 8.

Passo 4

Vamos determinar os limites em coordenadas esféricas:
  1. O raio rho vai do ponto de origem até a superfície da esfera, então rho varia de 0 a raiz8 = 2raiz2.
  2. O ângulo phi está limitado pelo cone z = raizx^2 + y^2. Em coordenadas esféricas, isso corresponde a phi = pi4 (45 graus).
  3. O ângulo theta completa uma volta completa ao redor do eixo z, então varia de 0 a 2pi.
Então, os limites são:
0 <= theta <= 2pi 0 <= phi <= pi4 0 <= rho <= 2raiz2

Passo 5

A expressão x^2 + y^2 + z^2 na integral se simplifica em coordenadas esféricas para rho^2. Portanto, a integral se transforma em:
integral0^2pi integral0^pi4 integral0^2raiz2 rho^2 cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta = integral0^2pi integral0^pi4 integral0^2raiz2 rho^4 sin phi , drho , dphi , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral em rho primeiro:
integral0^2raiz2 rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^2raiz2 = (2raiz2)^55 = 32raiz25

Passo 7

Agora, integramos em phi:
integral0^pi4 sin phi , dphi = [ -cos phi ]0^pi4 = -cos(pi4) + cos(0) = -raiz22 + 1 = 1 - raiz22

Passo 8

Por fim, integramos em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 9

Agora, juntando tudo:
Integral = 2pi cdot (1 - raiz22) cdot 32raiz25 = 64piraiz25 (1 - raiz22)
Simplificando:
= 64piraiz25 - 64pi cdot 210 = 64piraiz25 - 64pi5 = 64pi (raiz2 - 1)5

Resposta

A integral avaliada é:
64pi (raiz2 - 1)5

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