Exercício 1. Considerando que o par de funções fornecido são soluções da mesma EDO linear homogênea de 2a Ordem, calcule o wronskiano.
cos t e sin t

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem duas funções, e , que são soluções de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea de segunda ordem. Nosso objetivo aqui é calcular o Wronskiano dessas funções. O Wronskiano nos ajuda a verificar se essas soluções são linearmente independentes, o que é importante para saber se formam a base geral das soluções da EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Wronskiano. Para duas funções W(f,g)(t) = f(t) & g(t) f'(t) & g'(t) e , o Wronskiano é definido como o determinante da matriz formada por essas funções e suas primeiras derivadas. A fórmula fica assim:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas das funções dadas. Temos:
  • então
  • então

Passo 4

Com as funções e suas derivadas calculadas, montamos a matriz do Wronskiano:
W(cos t, sin t)(t) = cos t & sin t -sin t & cos t

Passo 5

Vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz a & b c & d W = (cos t)(cos t) - (sin t)(-sin t) = cos^2 t + sin^2 t é dado por . Aplicando isso:
Sabemos, pela identidade trigonométrica, que .

Resposta

O Wronskiano das funções e é .

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