Exercício 1. Considerando que o par de funções fornecido são soluções da mesma EDO linear homogênea de 2a Ordem, calcule o wronskiano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem duas funções, e , que são soluções de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea de segunda ordem. Nosso objetivo aqui é calcular o Wronskiano dessas funções. O Wronskiano nos ajuda a verificar se essas soluções são linearmente independentes, o que é importante para saber se formam a base geral das soluções da EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Wronskiano. Para duas funções e , o Wronskiano é definido como o determinante da matriz formada por essas funções e suas primeiras derivadas. A fórmula fica assim:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas das funções dadas. Temos:
então
então
Passo 4
Com as funções e suas derivadas calculadas, montamos a matriz do Wronskiano:
W(cos t, sin t)(t) = cos t & sin t -sin t & cos t
Passo 5
Vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz a & b c & d W = (cos t)(cos t) - (sin t)(-sin t) = cos^2 t + sin^2 t é dado por . Aplicando isso: