Calcule a integral após a mudança para coordenadas cilíndricas: \int_{0}^{3} \int_{-\sqrt{9-x^{2}}}^{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{-\sqrt{2 x^{2}+2 y^{2}}}^{6+x^{2}+y^{2}} 15 z d z d y d x.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{0}^{3} \int_{-\sqrt{9-x^{2}}}^{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{-\sqrt{2 x^{2}+2 y^{2}}}^{6+x^{2}+y^{2}} 15 z \, d z \, d y \, d x.
Informações dadas e o que devemos entender:
As projeções em x e y indicam que o domínio na base xy é o semicírculo de raio 3 com x variando de 0 a 3 e y variando entre -\sqrt{9-x^{2}} e \sqrt{9-x^{2}}. Logo, a região no plano xy é \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 9,\\ x\ge 0\}.
Os limites em z são z_{\text{inf}}(x,y) = -\sqrt{2x^{2}+2y^{2}} e z_{\text{sup}}(x,y)=6+x^{2}+y^{2}.
A função a integrar é 15z.
A tarefa é fazer a mudança para coordenadas cilíndricas e calcular a integral resultante.
Passo 2
Vamos explicar a mudança para coordenadas cilíndricas e por que ela é apropriada aqui.
Em coordenadas cilíndricas definimos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z.
O jacobiano da transformação (o fator que aparece na medida de volume) é r. Ou seja, dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
No nosso caso a simetria circular no termo x^{2}+y^{2} e os limites envolvendo \sqrt{x^{2}+y^{2}} tornam a mudança natural e simplificam os limites.
Passo 3
Determinar os limites em coordenadas cilíndricas:
O semicírculo x^{2}+y^{2}\le 9 com x\ge 0 corresponde a 0\le r\le 3 e -\tfrac{\pi}{2}\le \theta \le \tfrac{\pi}{2} (porque \theta variando nesse intervalo cobre exatamente a metade direita do disco).
O limite inferior de z é z_{\text{inf}} = -\sqrt{2x^{2}+2y^{2}} = -\sqrt{2}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}} = -\sqrt{2}\,r.
O limite superior de z é z_{\text{sup}} = 6 + x^{2}+y^{2} = 6 + r^{2}.
Passo 4
Escrever a integral na nova coordenada:
\int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=0}^{3} \int_{z=-\sqrt{2}\,r}^{6+r^{2}} 15 z \cdot r \, dz \, dr \, d\theta.
Aqui cada ocorrência de x e y foi substituída por r\cos\theta e r\sin\theta e o dV virou r\,dz\,dr\,d\theta.
Passo 5
Integrar primeiro em z. A integral interna é
\int_{z=-\sqrt{2}\,r}^{6+r^{2}} 15 z \cdot r \, dz = 15 r \int_{-\sqrt{2}\,r}^{6+r^{2}} z \, dz.
Usamos a primitiva de z, que é \tfrac{1}{2}z^{2}. Então
15 r \left[\tfrac{1}{2}z^{2}\right]_{z=-\sqrt{2}\,r}^{z=6+r^{2}} = \frac{15}{2} r \left[(6+r^{2})^{2} - (-\sqrt{2}\,r)^{2}\right].
Restou integrar em \theta no intervalo -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2}. Como o resultado das integrais internas é constante em \theta, multiplicamos por comprimento do intervalo: