Calcule a integral após a mudança para coordenadas cilíndricas:
\int_{0}^{3} \int_{-\sqrt{9-x^{2}}}^{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{-\sqrt{2 x^{2}+2 y^{2}}}^{6+x^{2}+y^{2}} 15 z d z d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{0}^{3} \int_{-\sqrt{9-x^{2}}}^{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{-\sqrt{2 x^{2}+2 y^{2}}}^{6+x^{2}+y^{2}} 15 z \, d z \, d y \, d x.
Informações dadas e o que devemos entender:
  • As projeções em x e y indicam que o domínio na base xy é o semicírculo de raio 3 com x variando de 0 a 3 e y variando entre -\sqrt{9-x^{2}} e \sqrt{9-x^{2}}. Logo, a região no plano xy é \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 9,\\ x\ge 0\}.
  • Os limites em z são z_{\text{inf}}(x,y) = -\sqrt{2x^{2}+2y^{2}} e z_{\text{sup}}(x,y)=6+x^{2}+y^{2}.
  • A função a integrar é 15z.
  • A tarefa é fazer a mudança para coordenadas cilíndricas e calcular a integral resultante.

Passo 2

Vamos explicar a mudança para coordenadas cilíndricas e por que ela é apropriada aqui.
  • Em coordenadas cilíndricas definimos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z.
  • O jacobiano da transformação (o fator que aparece na medida de volume) é r. Ou seja, dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
  • No nosso caso a simetria circular no termo x^{2}+y^{2} e os limites envolvendo \sqrt{x^{2}+y^{2}} tornam a mudança natural e simplificam os limites.

Passo 3

Determinar os limites em coordenadas cilíndricas:
  • O semicírculo x^{2}+y^{2}\le 9 com x\ge 0 corresponde a 0\le r\le 3 e -\tfrac{\pi}{2}\le \theta \le \tfrac{\pi}{2} (porque \theta variando nesse intervalo cobre exatamente a metade direita do disco).
  • O limite inferior de z é z_{\text{inf}} = -\sqrt{2x^{2}+2y^{2}} = -\sqrt{2}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}} = -\sqrt{2}\,r.
  • O limite superior de z é z_{\text{sup}} = 6 + x^{2}+y^{2} = 6 + r^{2}.

Passo 4

Escrever a integral na nova coordenada:
\int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=0}^{3} \int_{z=-\sqrt{2}\,r}^{6+r^{2}} 15 z \cdot r \, dz \, dr \, d\theta.
Aqui cada ocorrência de x e y foi substituída por r\cos\theta e r\sin\theta e o dV virou r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integrar primeiro em z. A integral interna é
\int_{z=-\sqrt{2}\,r}^{6+r^{2}} 15 z \cdot r \, dz = 15 r \int_{-\sqrt{2}\,r}^{6+r^{2}} z \, dz.
Usamos a primitiva de z, que é \tfrac{1}{2}z^{2}. Então
15 r \left[\tfrac{1}{2}z^{2}\right]_{z=-\sqrt{2}\,r}^{z=6+r^{2}} = \frac{15}{2} r \left[(6+r^{2})^{2} - (-\sqrt{2}\,r)^{2}\right].

Passo 6

Simplificar a expressão dentro dos colchetes:
  • (6+r^{2})^{2} = 36 + 12r^{2} + r^{4}.
  • (- \sqrt{2}\,r)^{2} = 2 r^{2}.
    Subtraindo:
(6+r^{2})^{2} - 2r^{2} = 36 + (12r^{2}-2r^{2}) + r^{4} = 36 + 10 r^{2} + r^{4}.
Logo o integrando em r fica
\frac{15}{2} r \big(36 + 10 r^{2} + r^{4}\big).

Passo 7

Multiplicar e escrever o integrando como soma de potências de r:
\frac{15}{2} r (36 + 10 r^{2} + r^{4}) = 270 r + 75 r^{3} + \frac{15}{2} r^{5}.
Agora integramos em r de 0 a 3.

Passo 8

Calcular a integral em r:
\int_{0}^{3} \left(270 r + 75 r^{3} + \frac{15}{2} r^{5}\right) dr.
Encontramos primitivas termo a termo:
  • \int 270 r\,dr = 135 r^{2}.
  • \int 75 r^{3}\,dr = \frac{75}{4} r^{4}.
  • \int \frac{15}{2} r^{5}\,dr = \frac{15}{2}\cdot\frac{1}{6} r^{6} = \frac{5}{4} r^{6}.
Portanto a primitiva total é
135 r^{2} + \frac{75}{4} r^{4} + \frac{5}{4} r^{6}.
Avaliando de r=0 a r=3:

Passo 9

Avaliar em r=3:
  • 135 r^{2} \big|_{3} = 135\cdot 9 = 1215.
  • \dfrac{75}{4} r^{4} \big|_{3} = \dfrac{75}{4}\cdot 81 = \dfrac{6075}{4} = 1518{,}75.
  • \dfrac{5}{4} r^{6} \big|_{3} = \dfrac{5}{4}\cdot 729 = \dfrac{3645}{4} = 911{,}25.
Somando:
1215 + 1518{,}75 + 911{,}25 = 3645.
Assim a integral em r e z resulta em 3645.

Passo 10

Restou integrar em \theta no intervalo -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2}. Como o resultado das integrais internas é constante em \theta, multiplicamos por comprimento do intervalo:
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 3645 \, d\theta = 3645 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = 3645 \cdot \pi.

Resposta

\,3645\pi

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