Utilize a integral tripla para determinar o volume da região
abaixo de x=z+3, acima de x=-z-6 e interna ao cilindro y^{2}+z^{2}=4.
Passo 1
O enunciado pede: usar integral tripla para determinar o volume da região que satisfaz simultaneamente as três condições abaixo:
está abaixo da superfície x = z + 3 (ou seja, x \le z+3);
está acima da superfície x = -z - 6 (ou seja, x \ge -z-6);
é interna ao cilindro y^{2}+z^{2}=4 (ou seja, (y,z) está no disco fechado de raio 2 no plano yz).
Informações relevantes dadas:
As duas superfícies em x são planas e paralelas em função de z: x_{\text{superior}} = z+3 e x_{\text{inferior}} = -z-6.
A projeção da região no plano yz é o disco D:\;y^{2}+z^{2}\le 4.
Para cada ponto (y,z) no disco D, x varia entre x=-z-6 e x=z+3.
Não há outras restrições além dessas.
Passo 2
Interpretando a integral tripla: o volume V da região E pode ser escrito como
V=\iiint_{E} dV.
Uma forma prática é projetar E no plano yz (já que os limites em x dependem apenas de z) e escrever o volume como integral dupla sobre o disco D da extensão em x em cada ponto (y,z):
Explicação didática rápida: transformar a integral tripla numa dupla aqui significa “somar, para cada posição no disco D, a espessura em x daquela coluna”; essa espessura é exatamente x_{\text{superior}}-x_{\text{inferior}}.
Passo 3
Para calcular \iint_{D} (2z+9)\,dA\) é conveniente usar coordenadas polares no plano \(yz\). Definimos as coordenas polares no plano \(yz\) por
\[\begin{cases} z = r\cos\theta,\\[4pt] y = r\sin\theta, \end{cases}
com r\ge 0\] e \(0\le \theta<2\pi. O jacobiano (a área elemento) é dA = r\,dr\,d\theta. O disco D corresponde a 0\le r\le 2 e 0\le \theta<2\pi.
Observação importante (simples e útil na prova): \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0, porque o cosseno tem área positiva e negativa que se cancelam no período completo 0 a 2\pi. Então a primeira parcela some.