Utilize a integral tripla para determinar o volume da região
abaixo de x=z+3, acima de x=-z-6 e interna ao cilindro y^{2}+z^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede: usar integral tripla para determinar o volume da região que satisfaz simultaneamente as três condições abaixo:
  • está abaixo da superfície x = z + 3 (ou seja, x \le z+3);
  • está acima da superfície x = -z - 6 (ou seja, x \ge -z-6);
  • é interna ao cilindro y^{2}+z^{2}=4 (ou seja, (y,z) está no disco fechado de raio 2 no plano yz).
Informações relevantes dadas:
  • As duas superfícies em x são planas e paralelas em função de z: x_{\text{superior}} = z+3 e x_{\text{inferior}} = -z-6.
  • A projeção da região no plano yz é o disco D:\;y^{2}+z^{2}\le 4.
  • Para cada ponto (y,z) no disco D, x varia entre x=-z-6 e x=z+3.
  • Não há outras restrições além dessas.

Passo 2

Interpretando a integral tripla: o volume V da região E pode ser escrito como
V=\iiint_{E} dV.
Uma forma prática é projetar E no plano yz (já que os limites em x dependem apenas de z) e escrever o volume como integral dupla sobre o disco D da extensão em x em cada ponto (y,z):
V=\iint_{D} \bigl(x_{\text{superior}}-x_{\text{inferior}}\bigr)\,dA.
Aqui, x_{\text{superior}}=z+3 e x_{\text{inferior}}=-z-6. Então o comprimento em x para cada (y,z) é
x_{\text{superior}}-x_{\text{inferior}}=(z+3)-(-z-6)=2z+9.
Logo
V=\iint_{D} (2z+9)\,dA,
onde D é o disco \{(y,z)\mid y^{2}+z^{2}\le 4\}.
Explicação didática rápida: transformar a integral tripla numa dupla aqui significa “somar, para cada posição no disco D, a espessura em x daquela coluna”; essa espessura é exatamente x_{\text{superior}}-x_{\text{inferior}}.

Passo 3

Para calcular \iint_{D} (2z+9)\,dA\) é conveniente usar coordenadas polares no plano \(yz\). Definimos as coordenas polares no plano \(yz\) por \[\begin{cases} z = r\cos\theta,\\[4pt] y = r\sin\theta, \end{cases}
com r\ge 0\] e \(0\le \theta<2\pi. O jacobiano (a área elemento) é dA = r\,dr\,d\theta. O disco D corresponde a 0\le r\le 2 e 0\le \theta<2\pi.
Substituindo z=r\cos\theta na integranda:
2z+9 = 2r\cos\theta + 9.
Portanto o volume fica
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\bigl(2r\cos\theta + 9\bigr)\,r\,dr\,d\theta.]

Passo 4

Agora desenvolvemos a integral interna em r. Primeiro escrevemos a integranda multiplicada por r:
\bigl(2r\cos\theta + 9\bigr)r = 2r^{2}\cos\theta + 9r.
Integramos em r de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\bigl(2r^{2}\cos\theta + 9r\bigr)\,dr = 2\cos\theta\int_{0}^{2} r^{2}\,dr + 9\int_{0}^{2} r\,dr.
Calculemos as duas integrais básicas:
\int_{0}^{2} r^{2}\,dr = \left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{2} = \frac{8}{3},
\int_{0}^{2} r\,dr = \left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{2} = \frac{4}{2}=2.
Substituindo:
\int_{0}^{2}\bigl(2r^{2}\cos\theta + 9r\bigr)\,dr = 2\cos\theta\cdot\frac{8}{3} + 9\cdot 2 = \frac{16}{3}\cos\theta + 18.

Passo 5

Agora integramos em \theta de 0 a 2\pi:
V=\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{16}{3}\cos\theta + 18\right)\,d\theta = \frac{16}{3}\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta + 18\int_{0}^{2\pi} d\theta.
Observação importante (simples e útil na prova): \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0, porque o cosseno tem área positiva e negativa que se cancelam no período completo 0 a 2\pi. Então a primeira parcela some.
A segunda parcela é direta:
18\int_{0}^{2\pi} d\theta = 18\cdot (2\pi) = 36\pi.
Portanto
V = 36\pi.

Resposta

36\pi

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