Calcule
\iiint_{W} 2+16 x d V sendo W a região entre as esferas x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 com u y \geqslant 0 e z \leqslant 0.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral tripla
\iiint_{W} 2+16 x \, dV
onde W é a região entre as esferas \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\; e \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\; sujeita às restrições \;y\geqslant 0\; e \;z\leqslant 0\;.
Informações relevantes dadas:
  • A região radial é a casca esférica entre as esferas de raio \;1\; e \;2\;.
  • Há duas meias-qualidades impostas: \;y\geqslant 0\; (metade positiva em y) e \;z\leqslant 0\; (metade negativa em z). A interseção dessas duas condições seleciona um quarto da casca esférica (um “quadrante” esférico).
  • A função a integrar é 2+16x.
O que é pedido: o valor numérico da integral tripla sobre W.

Passo 2

Escolha do sistema de coordenadas e por que: para regiões definidas por esferas, coordenadas esféricas são a escolha natural porque a equação das esferas fica simples e o elemento de volume tem forma conhecida. Em coordenadas esféricas usamos as variáveis \rho,\varphi,\theta com as relações abaixo:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
Aqui:
  • \rho é a distância ao origen ( \rho\ge0),
  • \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z (ou seja, \varphi=0 aponta para +z),
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy (medido a partir do eixo x, sentido anti-horário).
Também preciso do elemento de volume em esféricas, que é uma fórmula padrão (Jacobiano). Explique isso em seguida.

Passo 3

Jacobian / elemento de volume: na mudança para coordenadas esféricas o diferencial de volume dV transforma-se em
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Explicação curta: o fator \rho^{2}\sin\varphi aparece porque estamos medindo volume em termos de incrementos (d\rho,\,\rho\,d\varphi,\,\rho\sin\varphi\,d\theta) e o produto desses incrementos dá o pequeno volume aproximado. Não precisa decorar sem entender, mas é padrão em esferográficas.

Passo 4

Determinar os limites das variáveis \rho,\varphi,\theta a partir da descrição de W.
  • Radialmente a região está entre as esferas \rho=1 e \rho=2. Logo
1\leqslant \rho \leqslant 2.
  • A condição \;z\leqslant 0\; vira \cos\varphi\leqslant 0. Como \cos\varphi\le0 quando \varphi\in[\tfrac{\pi}{2},\pi], então
\frac{\pi}{2}\leqslant \varphi \leqslant \pi.
  • A condição \;y\geqslant 0\; vira \rho\sin\varphi\sin\theta \ge 0. Como \rho>0 e \sin\varphi\ge 0 para \varphi\in[0,\pi] e aqui \varphi\in[\tfrac{\pi}{2},\pi] então \sin\varphi>0 (estritamente positiva em (\tfrac{\pi}{2},\pi) e zero só em \varphi=\pi, que é uma fronteira de medida zero). Assim a desigualdade reduz-se a \sin\theta\ge 0, o que corresponde a
0\leqslant \theta \leqslant \pi.
Portanto os limites completos são
\begin{cases} 1\leqslant \rho \leqslant 2,\\[4pt] \dfrac{\pi}{2}\leqslant \varphi \leqslant \pi,\\[4pt] 0\leqslant \theta \leqslant \pi. \end{cases}]

Passo 5

Escrever a integral na forma esférica: substituo x=\rho\sin\varphi\cos\theta e dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta. A integral torna-se
\iiint_{W} (2+16x)\,dV = \int_{\theta=0}^{\pi}\int_{\varphi=\pi/2}^{\pi}\int_{\rho=1}^{2}\bigl(2+16\rho\sin\varphi\cos\theta\bigr)\rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Explico o que cada fator representa:
  • \rho^{2}\sin\varphi é o Jacobiano (elemento de volume),
  • 2 é constante,
  • 16\rho\sin\varphi\cos\theta é a expressão de 16x em esféricas.

Passo 6

Separar a integral em duas parcelas (linearidade): é conveniente quebrar a integral em duas integrais, uma com o termo constante 2 e outra com o termo que envolve \cos\theta:
\iiint_{W}(2+16x)\,dV = I_{1}+I_{2},
onde
I_{1}=\int_{0}^{\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}\int_{1}^{2}2\,\rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\,d\varphi\,d\theta,
I_{2}=\int_{0}^{\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}\int_{1}^{2}16\rho^{3}\sin^{2}\varphi\cos\theta\;d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Vou calcular I_{1} e I_{2} separadamente.

Passo 7

Calcular I_{1}. Como o integrando é produto de funções que dependem separadamente de \rho,\varphi,\theta, posso separar as integrais:
I_{1}=2\left(\int_{1}^{2}\rho^{2}d\rho\right)\left(\int_{\pi/2}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi\right)\left(\int_{0}^{\pi}d\theta\right).
Agora calculo cada uma:
  • \displaystyle \int_{1}^{2}\rho^{2}d\rho = \left.\frac{\rho^{3}}{3}\right|_{1}^{2}=\frac{8-1}{3}=\frac{7}{3}.
  • \displaystyle \int_{\pi/2}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = \left.-\cos\varphi\right|_{\pi/2}^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos\tfrac{\pi}{2})=(-(-1))-( -0)=1.
  • \displaystyle \int_{0}^{\pi}d\theta=\pi.
Substituindo:
I_{1}=2\cdot\frac{7}{3}\cdot 1\cdot \pi = \frac{14\pi}{3}.

Passo 8

Calcular I_{2}. Observe que a integral em \theta envolve \cos\theta. Posso separar de forma análoga:
I_{2}=16\left(\int_{1}^{2}\rho^{3}d\rho\right)\left(\int_{\pi/2}^{\pi}\sin^{2}\varphi\,d\varphi\right)\left(\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta\right).
Mas note algo importante: \displaystyle \int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta=\left.\sin\theta\right|_{0}^{\pi}=0-0=0. Logo a integral inteira I_{2} é zero, independentemente dos outros fatores. Isso também pode ser interpretado por simetria: a parte 16x muda de sinal com x positivo e negativo e, sobre essa região que é simétrica em x, seu integral anula-se — mas o cálculo direto via \cos\theta já é suficiente.
Portanto
I_{2}=0.

Passo 9

Somar as parcelas: a integral total é
\iiint_{W}(2+16x)\,dV = I_{1}+I_{2} = \frac{14\pi}{3}+0 = \frac{14\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{14\pi}{3}

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