Calcule \iiint_{W} 2+16 x d V sendo W a região entre as esferas x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 comu y \geqslant 0 e z \leqslant 0.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral tripla
\iiint_{W} 2+16 x \, dV
onde W é a região entre as esferas \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\; e \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\; sujeita às restrições \;y\geqslant 0\; e \;z\leqslant 0\;.
Informações relevantes dadas:
A região radial é a casca esférica entre as esferas de raio \;1\; e \;2\;.
Há duas meias-qualidades impostas: \;y\geqslant 0\; (metade positiva em y) e \;z\leqslant 0\; (metade negativa em z). A interseção dessas duas condições seleciona um quarto da casca esférica (um “quadrante” esférico).
A função a integrar é 2+16x.
O que é pedido: o valor numérico da integral tripla sobre W.
Passo 2
Escolha do sistema de coordenadas e por que: para regiões definidas por esferas, coordenadas esféricas são a escolha natural porque a equação das esferas fica simples e o elemento de volume tem forma conhecida. Em coordenadas esféricas usamos as variáveis \rho,\varphi,\theta com as relações abaixo:
\varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z (ou seja, \varphi=0 aponta para +z),
\theta é o ângulo azimutal no plano xy (medido a partir do eixo x, sentido anti-horário).
Também preciso do elemento de volume em esféricas, que é uma fórmula padrão (Jacobiano). Explique isso em seguida.
Passo 3
Jacobian / elemento de volume: na mudança para coordenadas esféricas o diferencial de volume dV transforma-se em
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Explicação curta: o fator \rho^{2}\sin\varphi aparece porque estamos medindo volume em termos de incrementos (d\rho,\,\rho\,d\varphi,\,\rho\sin\varphi\,d\theta) e o produto desses incrementos dá o pequeno volume aproximado. Não precisa decorar sem entender, mas é padrão em esferográficas.
Passo 4
Determinar os limites das variáveis \rho,\varphi,\theta a partir da descrição de W.
Radialmente a região está entre as esferas \rho=1 e \rho=2. Logo
1\leqslant \rho \leqslant 2.
A condição \;z\leqslant 0\; vira \cos\varphi\leqslant 0. Como \cos\varphi\le0 quando \varphi\in[\tfrac{\pi}{2},\pi], então
\frac{\pi}{2}\leqslant \varphi \leqslant \pi.
A condição \;y\geqslant 0\; vira \rho\sin\varphi\sin\theta \ge 0. Como \rho>0 e \sin\varphi\ge 0 para \varphi\in[0,\pi] e aqui \varphi\in[\tfrac{\pi}{2},\pi] então \sin\varphi>0 (estritamente positiva em (\tfrac{\pi}{2},\pi) e zero só em \varphi=\pi, que é uma fronteira de medida zero). Assim a desigualdade reduz-se a \sin\theta\ge 0, o que corresponde a
\rho^{2}\sin\varphi é o Jacobiano (elemento de volume),
2 é constante,
16\rho\sin\varphi\cos\theta é a expressão de 16x em esféricas.
Passo 6
Separar a integral em duas parcelas (linearidade): é conveniente quebrar a integral em duas integrais, uma com o termo constante 2 e outra com o termo que envolve \cos\theta:
Mas note algo importante: \displaystyle \int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta=\left.\sin\theta\right|_{0}^{\pi}=0-0=0. Logo a integral inteira I_{2} é zero, independentemente dos outros fatores. Isso também pode ser interpretado por simetria: a parte 16x muda de sinal com x positivo e negativo e, sobre essa região que é simétrica em x, seu integral anula-se — mas o cálculo direto via \cos\theta já é suficiente.