Calcule a integral após a mudança para coordenadas cilíndricas:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas pelo enunciado que vamos usar:
- Os limites em
são . - Para cada
, varia de até . - Para cada
, varia de até . - O integrando é
.
A tarefa é calcular essa integral fazendo a mudança para coordenadas cilíndricas e avaliar o resultado.
Passo 2
Vamos lembrar a transformação para coordenadas cilíndricas (explicando do zero):
- Em coordenadas cilíndricas usamos as variáveis
com as relações
- O elemento de volume
em coordenadas cartesianas vira . Ou seja, ao mudar de para aparece um fator multiplicativo , chamado jacobiano da mudança de variáveis. Intuitivamente, é porque pequenos setores angulares têm área proporcional a .
Passo 3
Identificar a projeção da região no plano
(informação essencial para os limites em
):
- O limite
e descreve a metade direita do disco de raio : . - Em coordenadas polares isso é simplesmente
pois
corresponde a
, ou seja
entre
e
.
Passo 4
Expressar o limite superior de
em termos de
:
- O enunciado dá
entre e . - Substituindo
obtemos o intervalo
Note que isto depende de
e
.
Passo 5
Transformar o integrando para as novas variáveis, passo a passo:
- O integrando original é
. - Substituindo
e temos
- Multiplicando pelo jacobiano
(do ) obtemos o integrando total em :
Passo 6
Escrever a integral tripla já em coordenadas cilíndricas com os limites determinados:
Passo 7
Integrar primeiro em
(é a integral mais simples porque o integrando não depende de
):
- Como a parte que multiplica não depende de
, temos
Passo 8
Expandir o produto e separar em duas integrais em
:
Agora integramos em
de
a
cada termo, calculando as primitivas de potências de
:
- Para o primeiro termo:
- Para o segundo termo:
Portanto, após integrar em
obtemos a integral em
Passo 9
Observar a paridade das funções trigonométricas para avaliar a integral em
:
- A função
é ímpar: . - As funções
e são pares: para inteiro. - Portanto os produtos
e são funções ímpares (produto de ímpar por par é ímpar). - A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de
, como , é zero. Logo
Passo 10
Concluir o valor da integral usando o resultado do passo anterior:
- Como ambos os termos angulares dão zero, a integral total é
Portanto o valor da integral dada é
.