Calcule a integral após a mudança para coordenadas cilíndricas:
\int_{-4}^{4} \int_{0}^{\sqrt{16-y^{2}}} \int_{0}^{6+x} 6 y x^{2} d z d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-4}^{4} \int_{0}^{\sqrt{16-y^{2}}} \int_{0}^{6+x} 6\,y\,x^{2}\;dz\;dx\;dy.
Informações dadas pelo enunciado que vamos usar:
  • Os limites em y são y\in[-4,4].
  • Para cada y, x varia de 0 até x=\sqrt{16-y^{2}}.
  • Para cada (x,y), z varia de 0 até z=6+x.
  • O integrando é 6\,y\,x^{2}.
    A tarefa é calcular essa integral fazendo a mudança para coordenadas cilíndricas e avaliar o resultado.

Passo 2

Vamos lembrar a transformação para coordenadas cilíndricas (explicando do zero):
  • Em coordenadas cilíndricas usamos as variáveis (r,\theta,z) com as relações
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
  • O elemento de volume \,dV em coordenadas cartesianas vira \,r\,dr\,d\theta\,dz. Ou seja, ao mudar de (x,y) para (r,\theta) aparece um fator multiplicativo r, chamado jacobiano da mudança de variáveis. Intuitivamente, é porque pequenos setores angulares têm área proporcional a r.

Passo 3

Identificar a projeção da região no plano xy (informação essencial para os limites em r,\theta):
  • O limite x\in[0,\sqrt{16-y^{2}}] e y\in[-4,4] descreve a metade direita do disco de raio 4: \{(x,y)\mid x^2+y^2\le 16,\;x\ge 0\}.
  • Em coordenadas polares isso é simplesmente
r\in[0,4],\qquad \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right],
pois x\ge 0 corresponde a \cos\theta\ge 0, ou seja \theta entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Expressar o limite superior de z em termos de r,\theta:
  • O enunciado dá z entre 0 e 6+x.
  • Substituindo x=r\cos\theta obtemos o intervalo
z\in\bigl[0,\;6 + r\cos\theta\bigr].
Note que isto depende de r e \theta.

Passo 5

Transformar o integrando para as novas variáveis, passo a passo:
  • O integrando original é 6\,y\,x^{2}.
  • Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta temos
6\,y\,x^{2} = 6\,(r\sin\theta)\,(r\cos\theta)^{2} = 6\,r^{3}\sin\theta\cos^{2}\theta.
  • Multiplicando pelo jacobiano r (do dV) obtemos o integrando total em (r,\theta,z):
6\,r^{3}\sin\theta\cos^{2}\theta \times r = 6\,r^{4}\sin\theta\cos^{2}\theta.

Passo 6

Escrever a integral tripla já em coordenadas cilíndricas com os limites determinados:
\int_{\theta=-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \int_{r=0}^{4} \int_{z=0}^{6 + r\cos\theta} 6\,r^{4}\sin\theta\cos^{2}\theta\;dz\;dr\;d\theta.

Passo 7

Integrar primeiro em z (é a integral mais simples porque o integrando não depende de z):
  • Como a parte que multiplica não depende de z, temos
\int_{0}^{6 + r\cos\theta} 6\,r^{4}\sin\theta\cos^{2}\theta\;dz = 6\,r^{4}\sin\theta\cos^{2}\theta\cdot\bigl(6 + r\cos\theta\bigr).

Passo 8

Expandir o produto e separar em duas integrais em r:
6\,r^{4}\sin\theta\cos^{2}\theta\bigl(6 + r\cos\theta\bigr) = 36\,r^{4}\sin\theta\cos^{2}\theta \;+\; 6\,r^{5}\sin\theta\cos^{3}\theta.
Agora integramos em r de 0 a 4 cada termo, calculando as primitivas de potências de r:
  • Para o primeiro termo:
\int_{0}^{4} 36\,r^{4}\,dr = 36\cdot\left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{4} = 36\cdot\frac{4^{5}}{5} = 36\cdot\frac{1024}{5} = \frac{36864}{5}.
  • Para o segundo termo:
\int_{0}^{4} 6\,r^{5}\,dr = 6\cdot\left[\frac{r^{6}}{6}\right]_{0}^{4} = \left[ r^{6}\right]_{0}^{4} = 4^{6} = 4096.
Portanto, após integrar em r obtemos a integral em \theta
\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \left(\frac{36864}{5}\sin\theta\cos^{2}\theta \;+\; 4096\sin\theta\cos^{3}\theta\right) d\theta.

Passo 9

Observar a paridade das funções trigonométricas para avaliar a integral em \theta:
  • A função \sin\theta é ímpar: \sin(-\theta) = -\sin\theta.
  • As funções \cos^{2}\theta e \cos^{3}\theta são pares: \cos^{k}(-\theta)=\cos^{k}\theta para k inteiro.
  • Portanto os produtos \sin\theta\cos^{2}\theta e \sin\theta\cos^{3}\theta são funções ímpares (produto de ímpar por par é ímpar).
  • A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de 0, como \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right], é zero. Logo
\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \sin\theta\cos^{2}\theta\;d\theta = 0, \qquad \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \sin\theta\cos^{3}\theta\;d\theta = 0.

Passo 10

Concluir o valor da integral usando o resultado do passo anterior:
  • Como ambos os termos angulares dão zero, a integral total é
\frac{36864}{5}\cdot 0 + 4096\cdot 0 = 0.
Portanto o valor da integral dada é 0.

Resposta

0

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