Calcule integral arccos theta d theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de arccos theta em relação a theta. Isso faz parte do estudo de integrais envolvendo funções trigonométricas inversas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. Essa técnica é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral vão ser u e dv.

Passo 3

Vamos escolher u = arccos theta. Então, precisamos encontrar du. Sabemos que:
ddtheta (arccos theta) = -1raiz1 - theta^2
Portanto, du = -1raiz1 - theta^2 dtheta.

Passo 4

Agora, vamos escolher dv = dtheta. Isso significa que precisamos integrar dv para encontrar v:
v = integral dtheta = theta

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral arccos theta , dtheta = u cdot v - integral v , du
Substituindo u, v, e du:
arccos theta cdot theta - integral theta ( -1raiz1 - theta^2 ) dtheta
Simplificando:
theta arccos theta + integral thetaraiz1 - theta^2 dtheta

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral que sobrou:
integral thetaraiz1 - theta^2 dtheta
Aqui, podemos fazer uma substituição simples. Vamos deixar u = 1 - theta^2, então du = -2theta dtheta, ou seja, -du2 = theta dtheta.

Passo 7

Substituindo na integral:
integral thetaraiz1 - theta^2 dtheta = integral -du2raizu = -12 integral u^-1/2 du
Integrando u^-1/2:
-12 cdot 2 u^1/2 + C = -raizu + C
Voltando para theta:
-raiz1 - theta^2 + C

Passo 8

Agora, juntando tudo:
integral arccos theta , dtheta = theta arccos theta + (-raiz1 - theta^2) + C
Simplificando:
theta arccos theta - raiz1 - theta^2 + C

Resposta

integral arccos theta , dtheta = theta arccos theta - raiz1 - theta^2 + C

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