Determine integral tan ^3 theta sec theta d theta.

Passo 1

Enunciado resumido: a missão é calcular a integral integral tan^3theta,sectheta,dtheta. O conteúdo envolve identidade trigonométrica tan^2theta=sec^2theta-1 e substituição (u-substituição).

Passo 2

Reescrevemos tan^3theta como tan^2theta,tantheta e aplicamos a identidade tan^2theta=sec^2theta-1:
integral tan^3theta,sectheta,dtheta =integral (sec^2theta-1),tantheta,sectheta,dtheta

Passo 3

Fazemos a substituição u=sectheta, daí du=secthetatantheta,dtheta. Assim a integral vira:
integral (sec^2theta-1),tantheta,sectheta,dtheta =integral (u^2-1),du

Passo 4

Integramos em u:
integral (u^2-1),du = u^33 - u + C

Passo 5

Voltamos a theta usando u=sectheta:
u^33-u+C = sec^3theta3-sectheta + C

Resposta

sec^3theta3-sectheta + C

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