Determine o domínio de r(t) e o valor de r(t0) :
r(t)=cos (pi t) i-ln t j+raizt-2 k, t0=3

Passo 1

O exercício pede o domínio da função vetor r(t)=cos(pi t)i-ln tj+raizt-2k e o valor de r(t) em t0=3. Vamos usar o conceito de domínio de funções reais e a avaliação de cada componente.

Passo 2

Para achar o domínio, analisamos cada componente:
  • cos(pi t) não impõe restrição em t.
  • -ln t exige t>0.
  • raizt-2 exige t-2>=0, ou seja t>=2.
    Combinando as condições t>0 e t>=2, concluímos que t>=2. Portanto o domínio é [2,infty).

Passo 3

Agora avaliamos r(t) em t0=3. Substituindo em cada componente temos:
  • cos(3pi)=-1.
  • -ln(3) fica -ln3.
  • raiz3-2=1.
    Logo
r(3)=-1,i-ln(3),j+1,k

Resposta

Domínio de r: [2,\infty).
r(3)=-i-ln(3),j+k

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