Calcule a integral C, onde x^2+y^2+z^2= é a quarta parte da circunferência 4, y=x , situada no primeiro octante.

Passo 1

Estamos calculando a integral de linha de um campo escalar (x^2+y^2) ao longo de um arco de curva C. O conteúdo é integral de linha de função escalar, e vamos precisar parametrizar a curva e usar ds=| r'(t)|dt.

Passo 2

Como C é a intersecção da esfera x^2+y^2+z^2=4 com o plano y=x no primeiro octante, podemos usar coordenadas esféricas fixando theta=pi/4. Definindo phi medindo do eixo z:
x(phi)=2sinphicostfracpi4, y(phi)=2sinphisintfracpi4, z(phi)=2cosphi,
com phiin[0,tfracpi2]. Calculamos
r'(phi)=l(raiz2cosphi,,raiz2cosphi,,-2sinphir)
e
| r'(phi)|=2
Além disso,
x^2+y^2=2l(2sinphir)^2=4sin^2phi

Passo 3

Agora a integral fica
integralC(x^2+y^2),ds=integral0^pi/24sin^2phicdot2,dphi=8integral0^pi/2sin^2phi,dphi=8cdotpi4=2pi

Resposta

2\pi

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