Resolva o PVI
l (x+y)^2 d x+(2 x y+x^2-1) d y=0 y(1)=1

Passo 1

A gente precisa resolver o PVI
(x+y)^2,dx + (2xy + x^2 - 1),dy = 0, y(1)=1
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem. O plano é: verificar exatidão, achar a função potencial e impor a condição inicial.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = (x+y)^2 e N(x,y) = 2xy + x^2 - 1.
Pela teoria, a equação M,dx + N,dy=0 é exata se
partial Mpartial y = partial Npartial x.
Calculando:
partial Mpartial y = 2(x+y),
partial Npartial x = 2y + 2x
Como 2(x+y) = 2x + 2y, a equação é exata.

Passo 3

Para achar a função potencial phi(x,y), integramos M em relação a x:
phi(x,y) = integral (x+y)^2,dx = x^33 + x^2y + xy^2 + h(y)
Depois, diferenciamos em relação a y e igualamos a N:
partial phipartial y = x^2 + 2xy + h'(y) = 2xy + x^2 - 1
Daí h'(y) = -1, logo h(y) = -y.
Assim:
phi(x,y) = x^33 + x^2y + xy^2 - y

Passo 4

A solução geral implícita vem de phi(x,y)=C, ou seja:
x^33 + x^2y + xy^2 - y = C

Passo 5

Para achar C, usamos y(1)=1:
phi(1,1) = 1^33 + 1^2cdot1 + 1cdot1^2 - 1 = 13 + 1 + 1 - 1 = 43
Logo C = tfrac43 e a solução do PVI fica:

Resposta

x^33 + x^2y + xy^2 - y = 43

Exercícios relacionados