Calcule integralC(x+raiz4 y) d s, onde C é o triângulo de vértices (0,0),(1,0) e(0,1).

Passo 1

O exercício pede calcular a integral de linha integralC(x+raiz4,y),ds ao longo do triângulo cujos vértices são (0,0), (1,0) e (0,1). Aqui usamos a definição de integral de linha de uma função escalar:
Para uma parametrização r(t)=(x(t),y(t)), tin[a,b],
integralCf(x,y),ds=integrala^bf(x(t),y(t))raiz(x'(t))^2+(y'(t))^2,dt
Note que raiz4y=2y, então a integranda é x+2y.

Passo 2

Parametrizamos o lado C1 de (0,0) a (1,0) por r1(t)=(t,0), tin[0,1]. A derivada é r'1(t)=(1,0), logo ds=,dt. A função vale f(t,0)=t.
integralC1(x+2y),ds=integral0^1t,dt=12

Passo 3

Para o lado C2 de (1,0) a (0,1), tome r2(t)=(1-t,t), tin[0,1]. Então r'2(t)=(-1,1) e ds=raiz2,dt. A função fica f(1-t,t)=(1-t)+2t=1+t.
integralC2(x+2y),ds=integral0^1(1+t)raiz2,dt=raiz2l[t+tfract^22r]0^1=tfrac3raiz22

Passo 4

No lado C3 de (0,1) a (0,0), use r3(t)=(0,1-t), tin[0,1]. A derivada é r'3(t)=(0,-1) e ds=,dt. A função vale f(0,1-t)=2(1-t)=2-2t.
integralC3(x+2y),ds=integral0^1(2-2t),dt=l[2t-t^2r]0^1=1

Passo 5

Somando as contribuições de cada segmento:
integralC(x+2y),ds=tfrac12+tfrac3raiz22+1=tfrac3+3raiz22

Resposta

3+3raiz22

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