Seja Omega a região do espaço definida por lx^2+y^2+z^2 >= 1 x^2+y^2+(z-2)^2 <= 4 z >= raizx^2+y^2 e seja S a superfície de Omega com campo normal unitário n apontando para fora de S. Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo do campo
F(x, y, z)=(x^33+y) i+(y^33) j+(z^33+2) k
através de S.

Passo 1

A questão pede o fluxo de F(x,y,z) = l(tfracx^33+yr) i + l(tfracy^33r) j + l(tfracz^33+2r) k através da superfície S=partialOmega, onde
Omega é dado por
x^2+y^2+z^2 >=1, x^2+y^2+(z-2)^2 <=4, z>=raizx^2+y^2
O conteúdo-chave é usar o Teorema da Divergência (Gauss), ou seja
integral duplaS Fcdot n,dS = integral triplaOmega nablacdot F,dV

Passo 2

Calculamos primeiro a divergência de F. Como
nablacdot F = partialpartial xl(tfracx^33+yr) + partialpartial yl(tfracy^33r) + partialpartial zl(tfracz^33+2r) = x^2 + y^2 + z^2,
o integrando vira
integral duplaS Fcdot n,dS = integral triplaOmega (x^2+y^2+z^2),dV

Passo 3

Para descrever Omega em coordenadas esféricas usamos
x = rsinthetacosphi, y = rsinthetasinphi, z = rcostheta,
e a condição z=raizx^2+y^2 dá o cone theta=pi/4. A esfera x^2+y^2+(z-2)^2=4 em esféricas é
r^2 - 4rcostheta = 0 implies r = 4costheta
Além disso r>=1 (fora da esfera unitária). Logo
0<=phi<=2pi, 0<=theta<=pi4, 1<= r<= 4costheta

Passo 4

O elemento de volume é dV = r^2sintheta,dr,dtheta,dphi e integrando r^2 da divergência temos
integral duplaS Fcdot n,dS = integral0^2piintegral0^pi/4integral1^4costheta r^2,r^2sintheta,dr,dtheta,dphi

Passo 5

Primeiro vimos a integral em r:
integral1^4costheta r^4,dr = (4costheta)^5 - 1^55 = 1024cos^5theta - 15
Fica então
integral duplaS Fcdot n,dS = 2pi5 integral0^pi/4 (1024cos^5theta - 1)sintheta,dtheta

Passo 6

Para o integral em theta usamos duas partes:
  1. I1 = integral0^pi/41024cos^5thetasintheta,dtheta. Com a troca u=costheta, du=-sintheta,dtheta, obtém-se
I1 = -1024integralu(0)=1^u(pi/4)=raiz22 u^5,du = -1024l[tfracu^66r]1^raiz22 = 4483
  1. (I_2 = \int_{0}^{\pi/4} (-1)\sin\theta,d\theta = \Bigl[\cos\theta\Bigr]_0^{\pi/4} = \frac{\sqrt2}{2} - 1.
    ]
    Somando dá
integral0^pi/4(1024cos^5theta -1)sintheta,dtheta = 4483 + raiz22 - 1

Passo 7

Finalmente,
integral duplaS Fcdot n,dS = 2pi5l(4483 + raiz22 - 1r) = pi15l(890 + 3raiz2r)

Resposta

pi,(890 + 3raiz2)15

Exercícios relacionados