Calcule a integral do campo
ao longo da parábola
, em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo da parábola
, onde
varia de
a
. Isso envolve conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, substituir na integral e calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva. Como a curva é dada por
e
varia de
a
, podemos usar
como nosso parâmetro. Então, vamos definir:
Aqui,
substitui o
, e
é expresso como
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Isso nos dará o vetor tangente à curva.
Passo 4
Em seguida, substituímos a parametrização na expressão do campo vetorial
:
Isso porque
e
.
Passo 5
A integral de linha é dada por:
Substituindo o que já temos:
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar dentro da integral:
Passo 7
Agora, a integral fica mais simples:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 8
Integrando:
Onde
é a constante de integração, mas como estamos calculando uma integral definida, vamos substituir os limites.
Passo 9
Substituindo os limites de
a
:
Resposta
A integral do campo
ao longo da parábola
de
a
é igual a
.