Calcule a integral do campo F(x, y)=(x-2 y) imath+3 x jmath ao longo da parábola y= x^2, em que x in[0,1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha do campo vetorial F(x, y) = (x - 2y),imath + 3x,jmath ao longo da parábola y = x^2, onde x varia de 0 a 1. Isso envolve conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, substituir na integral e calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva. Como a curva é dada por y = x^2 e x varia de 0 a 1, podemos usar x como nosso parâmetro. Então, vamos definir:
r(t) = t,imath + t^2,jmath, onde t in [0, 1]
Aqui, t substitui o x, e y é expresso como t^2.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t, que é r,'(t). Isso nos dará o vetor tangente à curva.
r,'(t) = ddt(t,imath + t^2,jmath) = imath + 2t,jmath

Passo 4

Em seguida, substituímos a parametrização na expressão do campo vetorial F(x, y):
F(r(t)) = (t - 2t^2),imath + 3t,jmath
Isso porque x = t e y = t^2.

Passo 5

A integral de linha é dada por:
integralC F cdot dr = integrala^b F(r(t)) cdot r,'(t) , dt
Substituindo o que já temos:
integral0^1 [(t - 2t^2),imath + 3t,jmath] cdot [imath + 2t,jmath] , dt

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar dentro da integral:
[(t - 2t^2),imath + 3t,jmath] cdot [imath + 2t,jmath] = (t - 2t^2) times 1 + 3t times 2t = t - 2t^2 + 6t^2 = t + 4t^2

Passo 7

Agora, a integral fica mais simples:
integral0^1 (t + 4t^2) , dt
Vamos integrar termo a termo.

Passo 8

Integrando:
integral (t + 4t^2) , dt = 12t^2 + 43t^3 + C
Onde C é a constante de integração, mas como estamos calculando uma integral definida, vamos substituir os limites.

Passo 9

Substituindo os limites de 0 a 1:
[ 12(1)^2 + 43(1)^3 ] - [ 12(0)^2 + 43(0)^3 ] = 12 + 43 - 0 = 36 + 86 = 116

Resposta

A integral do campo F(x, y) ao longo da parábola y = x^2 de x = 0 a x = 1 é igual a dfrac116.

Exercícios relacionados