(4) Funçăo r: R R^3 é derivável até a segunda ordem. Prove que r wed>= d rd t é constaute se
d^2 rd t^2=lambda r

Passo 1

O enunciado pede que a gente mostre que o vetor vec r(t) times dvec rdt(t) é constante, sabendo que vec r''(t)=lambda,vec r(t). O conteúdo aqui envolve derivada de produto vetorial e uso da condição dada.

Passo 2

Para derivar o produto vetorial, usamos a regra ddt[vec A(t)timesvec B(t)] = vec A'(t)timesvec B(t) + vec A(t)timesvec B'(t). Aplicando com vec A=vec r e vec B=vec r' temos
ddtl(vec rtimesvec r'r) = vec r'timesvec r' + vec rtimesvec r''

Passo 3

Como vec r'timesvec r'=vec0, a expressão acima fica
ddtl(vec rtimesvec r'r) = vec rtimesvec r''

Passo 4

Agora usamos a hipótese vec r''=lambda,vec r. Substituindo,

Passo 5

Como a derivada de vec rtimesvec r' é o vetor zero, concluímos que vec r(t)timesvec r'(t) é constante em t.

Resposta

vec r(t)timesvec r'(t) é constante em t.

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