a) ; na direção do vetor
b) na direção da semi-reta
c) na direção do vetor
d) na direção do vetor .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte a) do exercício! A questão nos dá um vetor função no ponto e pede para encontrarmos a derivada direcional nessa direção do vetor . Vamos precisar entender sobre derivadas direcionais em funções vetoriais e calcular a derivada usando o Jacobiano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função vetorial em uma direção específica é calculada usando a matriz Jacobiana da função. A matriz Jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais primeiras da função.
Passo 3
Vamos encontrar a matriz Jacobiana da função . A função dada é . Então, as derivadas parciais são:
Passo 4
Agora, avaliamos a matriz Jacobiana no ponto P0(1,1,1) substituindo x=1, y=1 e z=1:
J(P0) = 2 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2
Passo 5
A direção do vetor a = i + j + k precisa ser um vetor unitário para calcular a derivada direcional. Primeiro, vamos normalizar a:
|a| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
u = a|a| = ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 )
Passo 6
A derivada direcional nablau f(P0) é dada pelo produto da matriz Jacobiana pelo vetor direção unitário: