a) f(x, y, z)=(x^2, y^2, z^2) ; P0(1,1,1); na direção do vetor a=i+j+k
b) f(x, y)=-y i+x j ; P0(2,1) ; na direção da semi-reta y=2 x, x>0
c) f(x, y, z)=(x^2+y^2) i+z e^x y j ; P0(1,2,2) ; na direção do vetor i+2 j
d) f(x, y)=e^x(cos y i+sen y j) ; P0(0,0) ; na direção do vetor i-j.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte a) do exercício! A questão nos dá um vetor função f(x, y, z) = (x^2, y^2, z^2) no ponto P0(1,1,1) e pede para encontrarmos a derivada direcional nessa direção do vetor a = i + j + k. Vamos precisar entender sobre derivadas direcionais em funções vetoriais e calcular a derivada usando o Jacobiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função vetorial em uma direção específica é calculada usando a matriz Jacobiana da função. A matriz Jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais primeiras da função.

Passo 3

Vamos encontrar a matriz Jacobiana da função f(x, y, z). A função dada é f(x, y, z) = (x^2, y^2, z^2). Então, as derivadas parciais são:
J = partial f1partial x & partial f1partial y & partial f1partial z partial f2partial x & partial f2partial y & partial f2partial z partial f3partial x & partial f3partial y & partial f3partial z = 2x & 0 & 0 0 & 2y & 0 0 & 0 & 2z

Passo 4

Agora, avaliamos a matriz Jacobiana no ponto P0(1,1,1) substituindo x=1, y=1 e z=1:
J(P0) = 2 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2

Passo 5

A direção do vetor a = i + j + k precisa ser um vetor unitário para calcular a derivada direcional. Primeiro, vamos normalizar a:
|a| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
u = a|a| = ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 )

Passo 6

A derivada direcional nablau f(P0) é dada pelo produto da matriz Jacobiana pelo vetor direção unitário:

[
\nabla_{\vec{u}} \vec{f}(P_{0}) = J(P_{0}) \cdot \vec{u} =
nablau f(P0) = J(P0) cdot u = 2 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2 cdot 1raiz3 1raiz3 1raiz3 = 2 cdot 1raiz3 + 0 + 0 0 + 2 cdot 1raiz3 + 0 0 + 0 + 2 cdot 1raiz3 = 2raiz3 2raiz3 2raiz3
\cdot


]

Passo 7

Portanto, a derivada direcional da função f no ponto P0(1,1,1) na direção do vetor a é o vetor ( 2raiz3, 2raiz3, 2raiz3 ).

Resposta

A derivada direcional de f no ponto P0(1,1,1) na direção de a = i + j + k é ( dfrac2raiz3, dfrac2raiz3, dfrac2raiz3 ).

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