Sejam alpha, beta in[pi2, 3 pi2] tais que
sen(alpha)-sen(beta)=14 e sen(alpha)-2 sen(beta)+cos (beta)=34
Calcule o valor de sen (alpha+beta).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas equações envolvendo as funções seno e cosseno de e , que estão no intervalo . Nosso objetivo é encontrar o valor de . Para isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as equações que a gente tem:
Vamos chamar de sen(alpha) - sen(beta) = 14 e de sen(alpha) - 2sen(beta) + cos(beta) = 34 para facilitar a escrita.

Passo 3

Agora, substituímos e nas equações:
Nosso próximo passo é resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 4

Vamos subtrair a primeira equação da segunda:
(salpha - 2sbeta + cos(beta)) - (salpha - sbeta) = 34 - 14
Simplificando:
-sbeta + cos(beta) = 12
Ou seja:
cos(beta) - sbeta = 12

Passo 5

Agora, temos uma nova equação:
cos(beta) - sbeta = 12
Sabemos que . Vamos usar isso para relacionar (cos(beta) - sbeta)^2 = (12)^2 e cos^2(beta) - 2sen(beta)cos(beta) + sen^2(beta) = 14 .
Quadrando ambos os lados da equação:
1 - sen^2(beta) - 2sen(beta)cos(beta) + sen^2(beta) = 14
Substituindo :
Simplificando:
Então:
Dividindo os dois lados por 1 - 2sen(beta)cos(beta) = 14 :

Passo 6

Vamos voltar à primeira equação:
salpha - sbeta = 14
Isolando salpha = sbeta + 14 :
(sbeta + 14) - 2sbeta + cos(beta) = 34
Agora, substituímos -sen(beta) + cos(beta) + 14 = 34 na segunda equação original:
-sen(beta) + cos(beta) = 12
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Mas já tínhamos essa equação anteriormente, então precisamos de outra abordagem para encontrar .

Passo 7

Sabemos que . Vamos usar uma identidade trigonométrica que relaciona isso com :
Substituindo:
Então:

Passo 8

Agora, vamos resolver para 2beta = arcsen(34) . Sabemos que :
Calculando 2beta approx 0,848 radianos :
beta approx 0,424 radianos
Dividindo por 2:
beta approx pi - 0,424 approx 2,718 radianos
Mas lembrando que está no intervalo , precisamos ajustar o ângulo para esse intervalo. Então:

Passo 9

Com sen(beta) approx sen(2,718) approx 0,410 conhecido, podemos encontrar e cos(beta) approx cos(2,718) approx -0,912 :

Passo 10

Agora, lembrando que:
salpha = sbeta + 14 approx 0,410 + 0,250 = 0,660
Também podemos encontrar cos(alpha) = raiz1 - (0,660)^2 approx raiz1 - 0,436 approx raiz0,564 approx 0,751 usando a identidade :

Passo 11

Finalmente, usamos a identidade da soma dos senos:
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

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