Sejam
tais que
Calcule o valor de sen
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas equações envolvendo as funções seno e cosseno de
e
, que estão no intervalo
. Nosso objetivo é encontrar o valor de . Para isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar as equações que a gente tem:
Vamos chamar de
e de
para facilitar a escrita.
Passo 3
Agora, substituímos
e
nas equações:
Nosso próximo passo é resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 4
Vamos subtrair a primeira equação da segunda:
Simplificando:
Ou seja:
Passo 5
Agora, temos uma nova equação:
Sabemos que . Vamos usar isso para relacionar
e
.
Quadrando ambos os lados da equação:
Substituindo :
Simplificando:
Então:
Dividindo os dois lados por
:
Passo 6
Vamos voltar à primeira equação:
Isolando
:
Agora, substituímos
na segunda equação original:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Mas já tínhamos essa equação anteriormente, então precisamos de outra abordagem para encontrar
.
Passo 7
Sabemos que . Vamos usar uma identidade trigonométrica que relaciona isso com :
Substituindo:
Então:
Passo 8
Agora, vamos resolver para
. Sabemos que :
Calculando
:
Dividindo por 2:
Mas lembrando que
está no intervalo
, precisamos ajustar o ângulo para esse intervalo. Então:
Passo 9
Com
conhecido, podemos encontrar e
:
Passo 10
Agora, lembrando que:
Também podemos encontrar
usando a identidade :
Passo 11
Finalmente, usamos a identidade da soma dos senos:
Substituindo os valores encontrados: