Calcule a integral caso exista. Se não existir, justifique:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de
de 1 até o infinito. Esse exercício é sobre integrais impróprias, que aparecem quando a gente tem limites infinitos ou a função não está bem definida em algum ponto do intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais do tipo
e quando elas convergem ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a integral que temos é do tipo
, onde
. Esse tipo de integral é conhecida como “integral p”. Sabemos que uma integral p converge se
e diverge se
.
Passo 3
Como no nosso caso
, que é maior que 1, a integral vai convergir. Isso já nos diz que existe um valor finito para essa integral.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral. A antiderivada de
é:
Simplificando os expoentes:
Passo 5
Aplicando os limites de integração de 1 até o infinito:
Sabemos que
tende a 0 quando
tende ao infinito, e
. Então:
Resposta
A integral
converge e o seu valor é 5.