Calcule a integral caso exista. Se não existir, justifique:
integral1^infty 1x^6 / 5 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de de 1 até o infinito. Esse exercício é sobre integrais impróprias, que aparecem quando a gente tem limites infinitos ou a função não está bem definida em algum ponto do intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais do tipo e quando elas convergem ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a integral que temos é do tipo , onde . Esse tipo de integral é conhecida como “integral p”. Sabemos que uma integral p converge se e diverge se .

Passo 3

Como no nosso caso , que é maior que 1, a integral vai convergir. Isso já nos diz que existe um valor finito para essa integral.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral. A antiderivada de integral 1x^6/5 dx = integral x^-6/5 dx = x^-6/5 + 1-6/5 + 1 + C é:
- 51 x^-1/5 + C = -5x^-1/5 + C
Simplificando os expoentes:

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 1 até o infinito:
[ -5x^-1/5 ]1^infty = limb to infty ( -5b^-1/5 ) - ( -5(1)^-1/5 )
Sabemos que 0 - (-5 times 1) = 5 tende a 0 quando tende ao infinito, e . Então:

Resposta

A integral converge e o seu valor é 5.

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