Calcule a integral de contorno de f ao longo de C:
f(z)=|z|, C=\left\{z=r e^{i \theta}: 0 \leq \theta \leq \pi\right\}

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de contorno
\int_{C}f(z)\,dz,\quad f(z)=|z|,
onde C é o semicírculo de raio r>0 dado por
C=\{z=r e^{i\theta}\mid 0\le\theta\le\pi\}.
O conteúdo envolvido é cálculo de integral de linha no plano complexo usando parametrização.

Passo 2

Parametrizamos C por
z(\theta)=r e^{i\theta},\quad 0\le\theta\le\pi.
Então
dz=i\,r e^{i\theta}d\theta \quad\text{e}\quad |z(\theta)|=r.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int_{C}|z|\,dz =\int_{0}^{\pi}r\;\bigl(i\,r e^{i\theta}\bigr)d\theta =i\,r^{2}\int_{0}^{\pi}e^{i\theta}d\theta.

Passo 4

Calculamos
\int_{0}^{\pi}e^{i\theta}d\theta =\left[\frac{e^{i\theta}}{i}\right]_{0}^{\pi} =\frac{e^{i\pi}-e^{i0}}{i} =\frac{-1-1}{i} =-\frac{2}{i}=2i\,(-1) =-2i
e portanto
i\,r^{2}\int_{0}^{\pi}e^{i\theta}d\theta =i\,r^{2}\,(-2i) =-2\,r^{2}\,(i\cdot i^{-1}) =-2\,r^{2}.

Resposta

\int_{C}|z|\,dz=-2\,r^{2}.

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