Desenhe o conjunto A dado e calcule a área.
A é o conjunto de todos (x, y) tais que x^{2}-1 \leqslant y \leqslant 0.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
A = \{(x,y)\mid x^2 - 1 \le y \le 0\}
e pede para desenhar essa região no plano e calcular sua área. O conteúdo é cálculo de área por integração, usando a diferença entre a função superior e a inferior.

Passo 2

Para entender a forma de A, identifique as curvas que o limitam:
a função inferior é
y = x^2 - 1
e a superior é
y = 0.
Elas se intersectam quando
x^2 - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 1.
Logo a região está entre a parábola com vértice em (0,-1) e a reta y=0, para x\in[-1,1].

Passo 3

Para calcular a área, usamos a fórmula
\text{Área} = \int_{x=-1}^{1} \bigl(y_{\text{topo}} - y_{\text{fundo}}\bigr)\,dx =\int_{-1}^{1} \bigl(0 - (x^2 - 1)\bigr)\,dx =\int_{-1}^{1} (1 - x^2)\,dx.Á

Passo 4

Agora, integramos:
\int_{-1}^{1} (1 - x^2)\,dx =\Bigl[x - \tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{-1}^{1} =\bigl(1 - \tfrac{1}{3}\bigr)-\bigl(-1+\tfrac{1}{3}\bigr) =\tfrac{2}{3}-\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr) =\tfrac{4}{3}.

Resposta

A área do conjunto A é \tfrac{4}{3}.

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