Calcule a integral de contorno integralC(3 z^2-2 z) d z onde C: z(t)=3 t+2 t i para t in[-2,2].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de contorno:
integralC(3 z^2-2 z) d z
Aqui, C é um caminho no plano complexo definido por z(t) = 3t + 2ti para t in [-2, 2]. Vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais no plano complexo, especialmente a parametrização de caminhos e como calcular a diferencial dz.

Passo 2

Como C está parametrizado por z(t) = 3t + 2ti, nosso primeiro passo é encontrar a expressão para dz. Para isso, derivamos z(t) em relação a t:
d z(t)d t = dd t (3t + 2ti) = 3 + 2i
Então,
dz = (3 + 2i) dt

Passo 3

Agora, vamos substituir z(t) e dz na integral original. A integral fica:
integralt=-2^t=2 (3 (3t + 2ti)^2 - 2 (3t + 2ti)) cdot (3 + 2i) dt
Vamos simplificar passo a passo.

Passo 4

Primeiro, calculamos $ (3t + 2ti)^2 $:
(3t + 2ti)^2
Sabemos que (3t + 2ti)^2 = (3t)^2 + 2 cdot 3t cdot 2ti + (2ti)^2 = 9t^2 + 12t^2i + 4t^2i^2 , então:
i^2 = -1

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão da integral:
3 (5t^2 + 12t^2i) - 2 (3t + 2ti) = 15t^2 + 36t^2i - 6t - 4ti
Então, a integral fica:
integral-2^2 (15t^2 + 36t^2i - 6t - 4ti) cdot (3 + 2i) dt

Passo 6

Vamos multiplicar os termos dentro da integral:
(15t^2)(3) + (15t^2)(2i) + (36t^2i)(3) + (36t^2i)(2i) - (6t)(3) - (6t)(2i) - (4ti)(3) - (4ti)(2i)
Calculando cada termo:
45t^2 + 30t^2i + 108t^2i + 72t^2i^2 - 18t - 12ti - 12ti - 8t i^2
Lembrando que i^2 = -1:
45t^2 + 30t^2i + 108t^2i - 72t^2 - 18t - 12ti - 12ti + 8t
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
(45t^2 - 72t^2) + (30t^2i + 108t^2i) + (-18t + 8t) + (-12ti -12ti)
Simplificando:
-27t^2 + 138t^2i - 10t - 24ti

Passo 7

Agora, nossa integral simplificada é:
integral-2^2 (-27t^2 + 138t^2i - 10t - 24ti) dt
Vamos separar a integral em partes reais e imaginárias:
integral-2^2 (-27t^2 - 10t) dt + i integral-2^2 (138t^2 - 24t) dt

Passo 8

Calculamos cada integral separadamente.
Primeira parte (parte real):
integral-2^2 (-27t^2 - 10t) dt = -27 integral-2^2 t^2 dt - 10 integral-2^2 t dt
Sabemos que integral t^2 dt = t^33 e integral t dt = t^22, então:
-27 [ t^33 ]-2^2 - 10 [ t^22 ]-2^2 = -27 ( 83 - (-8)3 ) - 10 ( 42 - 42 ) = -27 ( 163 ) - 10(0) = -144
Segunda parte (parte imaginária):
i integral-2^2 (138t^2 - 24t) dt = i ( 138 integral-2^2 t^2 dt - 24 integral-2^2 t dt )
Calculando:
138 [ t^33 ]-2^2 - 24 [ t^22 ]-2^2 = 138 ( 83 - (-8)3 ) - 24 ( 42 - 42 ) = 138 ( 163 ) - 24(0) = 736
Portanto, a parte imaginária é 736i.

Resposta

A integral de contorno é:
-144 + 736i

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