Calcule a integral de contorno
onde
para
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de contorno:
Aqui,
é um caminho no plano complexo definido por
para
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais no plano complexo, especialmente a parametrização de caminhos e como calcular a diferencial
.
Passo 2
Como
está parametrizado por
, nosso primeiro passo é encontrar a expressão para
. Para isso, derivamos
em relação a
:
Então,
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na integral original. A integral fica:
Vamos simplificar passo a passo.
Passo 4
Primeiro, calculamos $ (3t + 2ti)^2 $:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na expressão da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos multiplicar os termos dentro da integral:
Calculando cada termo:
Lembrando que
:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 7
Agora, nossa integral simplificada é:
Vamos separar a integral em partes reais e imaginárias:
Passo 8
Calculamos cada integral separadamente.
Primeira parte (parte real):
Sabemos que
e
, então:
Segunda parte (parte imaginária):
Calculando:
Portanto, a parte imaginária é
.
Resposta
A integral de contorno é: