Teste a série quanto a convergência ou divergência:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita dada por
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge (ou seja, se soma um valor finito) ou diverge. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de série estamos lidando. A série
é uma série geométrica, que tem a forma geral
, onde
é o primeiro termo e
é a razão.
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores de
e
na nossa série. Observando
, vemos que:
- O primeiro termo (
) é . - A razão (
) é .
Passo 4
Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto da razão
precisa ser menor que 1, ou seja,
. Vamos verificar isso:
Como
é menor que 1, a série converge.
Passo 5
Como a série converge, podemos calcular a soma infinita usando a fórmula da soma de uma série geométrica:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A série converge e a soma infinita é igual a
.