Teste a série quanto a convergência ou divergência:
(a) sumn=1^infty 6(0,9)^n-1
(b) sumn=1^infty 10^n(-9)^n-1
© sumn=0^infty 1(raiz2)^n
(d) sumn=1^infty e^n3^n-1
(e) sumn=1^infty a^2(11+a^2)^n-1, a in R
(f) sumn=1^infty ln (n^2+12 n^2+1)
(g) sumn=1^infty arctg(n) (n) sumn=1^infty(35^n+2n).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita dada por sumn=1^infty 6(0,9)^n-1. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge (ou seja, se soma um valor finito) ou diverge. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de série estamos lidando. A série sumn=1^infty 6(0,9)^n-1 é uma série geométrica, que tem a forma geral sumn=0^infty ar^n, onde a é o primeiro termo e r é a razão.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores de a e r na nossa série. Observando sumn=1^infty 6(0,9)^n-1, vemos que:
  • O primeiro termo ( a) é 6(0,9)^1-1 = 6(0,9)^0 = 6 times 1 = 6.
  • A razão ( r) é 0,9.

Passo 4

Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto da razão r precisa ser menor que 1, ou seja, |r| < 1. Vamos verificar isso:
|0,9| = 0,9 < 1
Como 0,9 é menor que 1, a série converge.

Passo 5

Como a série converge, podemos calcular a soma infinita usando a fórmula da soma de uma série geométrica:
S = a1 - r
Substituindo os valores que encontramos:
S = 61 - 0,9 = 60,1 = 60

Resposta

A série converge e a soma infinita é igual a 60.

Exercícios relacionados