Teste a série quanto a convergência ou divergência:
(a) sumn=1^infty n!100^n
(b) sumn=1^infty n!n^n
© sumn=1^infty (2 n)!(n!)^2
(d) sumn=1^infty 2 cdot 4 cdot 6 cdots(2 n)n!
(e) sumn=0^infty n!2 cdot 5 cdot 8 cdots(3 n+2)
(f) sumn=1^infty n!n^n
(g) sumn=1^infty(1+1n)^n^2
(h) sumn=1^infty 2^n^2n!
(i) sumn=1^infty n^2 n(1+2 n^2)^n
(j) sumn=2^infty(2 nn+1)^5 n.

Passo 1

O exercício pede para testar a convergência ou divergência de várias séries (itens a–j). Vamos usar conteúdo de séries numéricas, em especial o teste da razão de D’Alembert e o teste da raiz de Cauchy, além de aproximações assintóticas quando necessário.

Passo 2

O teste da razão de D’Alembert diz que, para uma série com termos gerais an, se definirmos
L = limntoinfty |an+1an|,
então:
• Se L<1, a série converge absolutamente.
• Se L>1, a série diverge.
• Se L=1, o teste é inconclusivo.
O teste da raiz de Cauchy diz que, definindo
R = limntoinfty raiz[n]|an|,
• Se R<1, converge absolutamente.
• Se R>1, diverge.
• Se R=1, é inconclusivo.

Passo 3

Para (a) an = n!100^n. Calculamos
an+1an = (n+1)!/100^n+1n!/100^n = n+1100
Como limntoinfty(n+1)/100 = +infty >1, pelo teste da razão a série diverge.

Passo 4

Para (b) an = n!n^n. Temos
an+1an = (n+1)!/(n+1)^n+1n!/n^n = n^n(n+1)^n = l(nn+1r)^n longrightarrow e^-1<1
Logo converge absolutamente.

Passo 5

Para © an = (2n)!(n!)^2. Esse termo é o coeficiente binomial central binom2nn, que cresce como approx4^nraizpi n. Pelo teste da razão, ou simplesmente observando que o termo geral não decai suficientemente (razão tende a 4), concluímos que diverge.

Passo 6

Para (d) an = 2cdot4cdot6cdots(2n)n!. Note que
2cdot4cdot6cdots(2n) = 2^n,n! ,
então an = 2^n. A série sum2^n é geométrica com razão 2>1 e diverge.

Passo 7

Para (e) an = n!2cdot5cdot8cdots(3n+2). Use o teste da razão:
an+1an = (n+1)!2cdot5cdots(3n+2)(3n+5) cdot 2cdot5cdots(3n+2)n! = n+13n+5 longrightarrow 13 <1
Portanto converge.

Passo 8

Para (f) temos novamente an=n!n^n, igual ao item (b). Já vimos que converge.

Passo 9

Para (g) an = (1+1/n)^n^2. Note que
(1+1/n)^n^2 = l[(1+1/n)^nr]^n approx e^n to +infty,
o que faz an não tender a zero, logo a série diverge.

Passo 10

Para (h) an = 2^n^2n!. Pelo teste da razão:
an+1an = 2^(n+1)^2/(n+1)!2^n^2/n! = 2^2n+1n+1 xrightarrow[ntoinfty] +infty >1,
Então diverge.

Passo 11

Para (i) an = n^2n(1+2n^2)^n. Use o teste da raiz:
raiz[n]an = n^21+2n^2 longrightarrow 12 <1
Logo converge absolutamente.

Passo 12

Para (j) an = (tfrac2nn+1)^5n. Pelo teste da raiz:
raiz[n]an = l(2nn+1r)^5 longrightarrow 2^5 = 32 >1,
portanto diverge.

Resposta

a) diverge; b) converge; c) diverge; d) diverge; e) converge; f) converge; g) diverge; h) diverge; i) converge; j) diverge.

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