Calcule a integral em coordenadas polares: \iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right) d A, onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro na origem e raios le 3.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA,
onde R é a região do primeiro quadrante entre dois círculos centrados na origem com raios 1 e 3. Informações relevantes extraídas do enunciado:
A função a integrar é x^{2}+y^{2}.
A região R está no primeiro quadrante (ou seja, \,x\ge0 e \,y\ge0).
A região fica entre o círculo de raio 1 e o círculo de raio 3, ambos centrados na origem (ou seja, 1\le r\le3 em coordenadas polares).
O objetivo é obter o valor numérico da integral dupla sobre R.
Passo 2
Vamos lembrar o que são coordenadas polares e por que elas ajudam aqui. Em coordenadas polares usamos duas variáveis:
r\quad\text{(distância ao origem)},\qquad \theta\quad\text{(ângulo medido a partir do eixo }x\text{)}.
As relações com as coordenadas cartesianas são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Intuição rápida: r indica “o quanto você está longe do centro” e \theta diz “em que direção”.
Passo 3
Precisamos também do elemento de área em polares. Um pequeno retângulo em (r,\theta) tem dimensões aproximadas \Delta r e r\,\Delta\theta, então a área é aproximadamente r\,\Delta r\,\Delta\theta. Passando ao limite isso dá o elemento de área:
dA = r\,dr\,d\theta.
Essa é a chamada “Jacobian” da transformação para coordenadas polares; por isso aparece o fator r.
Interpretação rápida e checagem: o integrando x^{2}+y^{2} é radial (depende só de r), e a região é um setor radial simples, então era de se esperar uma conta direta que resulta numa constante vezes o comprimento angular \pi/2. A aritmética confirma o valor obtido.