Calcule a integral em coordenadas polares:
\iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right) d A, onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro na origem e raios le 3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA,
onde R é a região do primeiro quadrante entre dois círculos centrados na origem com raios 1 e 3. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função a integrar é x^{2}+y^{2}.
  • A região R está no primeiro quadrante (ou seja, \,x\ge0 e \,y\ge0).
  • A região fica entre o círculo de raio 1 e o círculo de raio 3, ambos centrados na origem (ou seja, 1\le r\le3 em coordenadas polares).
  • O objetivo é obter o valor numérico da integral dupla sobre R.

Passo 2

Vamos lembrar o que são coordenadas polares e por que elas ajudam aqui. Em coordenadas polares usamos duas variáveis:
r\quad\text{(distância ao origem)},\qquad \theta\quad\text{(ângulo medido a partir do eixo }x\text{)}.ââ
As relações com as coordenadas cartesianas são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Intuição rápida: r indica “o quanto você está longe do centro” e \theta diz “em que direção”.

Passo 3

Precisamos também do elemento de área em polares. Um pequeno retângulo em (r,\theta) tem dimensões aproximadas \Delta r e r\,\Delta\theta, então a área é aproximadamente r\,\Delta r\,\Delta\theta. Passando ao limite isso dá o elemento de área:
dA = r\,dr\,d\theta.
Essa é a chamada “Jacobian” da transformação para coordenadas polares; por isso aparece o fator r.

Passo 4

Transformação do integrando. Observando que
x^{2}+y^{2} = (r\cos\theta)^{2} + (r\sin\theta)^{2} = r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta) = r^{2},
usamos isso junto com dA=r\,dr\,d\theta. Assim o integrando em polares fica r^{2}\cdot r = r^{3}.

Passo 5

Definir os limites de integração para a região R. Como R é o setor do primeiro quadrante entre os círculos de raio 1 e 3, temos:
1 \le r \le 3,\qquad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}.
Portanto a integral dupla em coordenadas polares é
\iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=1}^{3} r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral interna em r. A primitiva de r^{3} é \dfrac{r^{4}}{4}. Então
\int_{r=1}^{3} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{1}^{3} = \frac{3^{4}-1^{4}}{4} = \frac{81-1}{4} = \frac{80}{4} = 20.

Passo 7

Agora integrar em \theta:
\int_{\theta=0}^{\pi/2} 20\,d\theta = 20\left.\theta\right|_{0}^{\pi/2} = 20\cdot\frac{\pi}{2} = 10\pi.

Passo 8

Interpretação rápida e checagem: o integrando x^{2}+y^{2} é radial (depende só de r), e a região é um setor radial simples, então era de se esperar uma conta direta que resulta numa constante vezes o comprimento angular \pi/2. A aritmética confirma o valor obtido.

Resposta

10\pi

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