Calcule.
integral-2^-1 x^2 e^x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral-2^-1 x^2 e^x ,dx. O conteúdo principal é integração por partes e vamos precisar aplicar esse método duas vezes para encontrar a primitiva de x^2 e^x.

Passo 2

Escolhemos na primeira integração por partes u = x^2 e dv = e^x ,dx. Então du = 2x,dx e v = e^x. Aplicando a fórmula integral u,dv = u v - integral v,du, temos:
integral x^2 e^x ,dx = x^2 e^x - integral 2x e^x ,dx

Passo 3

Agora precisamos calcular integral 2x e^x ,dx. De novo por partes, tomamos u = 2x e dv = e^x ,dx, de modo que du = 2,dx e v = e^x. Assim:
integral 2x e^x ,dx = 2x e^x - integral 2 e^x ,dx = 2x e^x - 2e^x
Substituindo na primeira expressão, obtemos a primitiva geral:
integral x^2 e^x ,dx = x^2 e^x - l(2x e^x - 2e^xr) = e^xl(x^2 - 2x + 2r) + C

Passo 4

Falta avaliar essa primitiva nos limites -2 e -1. Chamando F(x) = e^x(x^2 - 2x + 2), temos:
F(-1) = e^-1l((-1)^2 - 2(-1) + 2r) = e^-1(1 + 2 + 2) = 5e^-1,
F(-2) = e^-2l(4 - 2(-2) + 2r) = e^-2(4 + 4 + 2) = 10e^-2
Logo, a integral definida é F(-1) - F(-2).

Resposta

5e^-1 - 10e^-2

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