Em cada um dos Problemas de 13 a 20, expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
y^(4)+5 y^prime prime+4 y=g(t) ; y(0)=1, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=0, y^prime prime prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial\ ,
y^(4) + 5y'' + 4y = g(t) com , y(0)=1, y'(0)=y''(0)=y'''(0)=0, expressando a solução em função de uma convolução. O conteúdo principal é transformadas de Laplace e a propriedade de convolução para termos de entrada.

Passo 2

Aplicamos transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que
Ly^(4) = s^4Y(s) - s^3y(0)-s^2y'(0)-s y''(0)-y'''(0),
temos
s^4Y(s)-s^3 cdot 1 +5l(s^2Y(s)-s y(0)-y'(0)r)+4Y(s)=G(s)
Como y(0)=1 e as outras iniciais são zero, isto vira
Y(s)l(s^4+5s^2+4r) - s^3 = G(s)
Portanto
Y(s)=s^3s^4+5s^2+4+G(s)s^4+5s^2+4

Passo 3

Separamos em parte livre de entrada e parte forçada:
Y(s)=Yi(s)+H(s)G(s),
onde
Yi(s)=s^3(s^2+1)(s^2+4),
H(s)=1(s^2+1)(s^2+4)
é a função de transferência, cujo inverso no tempo dará o núcleo de convolução.

Passo 4

Calculamos h(t)=L^-1H(s). Fatorando e usando frações parciais:
1(s^2+1)(s^2+4)=13l(1s^2+1-1s^2+4r)
Daí
h(t)=13sin t - 16sin(2t)

Passo 5

Invertemos Yi(s) para achar a parte homogênea impulsiva:
s^3(s^2+1)(s^2+4)=Ass^2+1+Bss^2+4,
que dá A=-tfrac13,B=tfrac43. Logo
yi(t)=-13cos t+43cos(2t)
A solução geral é então a soma da resposta às condições iniciais com a convolução:
y(t)=yi(t)+integral0^t h(t-tau),g(tau),dtau

Resposta

y(t)=-tfrac13cos t+tfrac43cos(2t)+integral0^tl(tfrac13sin(t-tau)-tfrac16sinl(2(t-tau)r)r)g(tau),dtau

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